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1、15.3反证法和放缩法读教材填要点1反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法2放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法小问题大思维1用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根
2、据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的2运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主
3、要形式用反证法证明否定性结论例1设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1.思路点拨本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决精解详析假设4a(1b)1,4b(1c)1,4c(1d)1，4d(1a)1，则有a(1b)，b(1c)，c(1d)，d(1a).，.又，.将上面各式相加得22，矛盾4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1.(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体(2
4、)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立的事实相矛盾1已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列解：(1)当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，则2，所以22rq2rp1.又因为pq0，且(x1)2(y1)2(z1)0abc0这与abc0矛盾因此，a，b，c中至少有
5、一个大于0.(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾2实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明：假设a，b，c，d都是非负数，即a0，b0，c0，d0，则1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd.这与已知中acbd1矛盾，原假设错误，故a，b，c，d中至少
6、有一个是负数.用放缩法证明不等式例3求证：12(nN*且n2)思路点拨本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式精解详析k(k1)k2k(k1)，.即(kN且k2)分别令k2,3，n得1，将这些不等式相加得1，即1.1111.即12(nN且n2)成立(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证ab，可换成证ac且cb，欲证ab，可换成证ac且cb.(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标而且要恰到好处，目标往往
7、要从证明的结论考察常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等比如：舍去或加上一些项：22；将分子或分母放大(缩小)：，(kR，k1)等3设n是正整数，求证：1.证明：由2nnkn(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，1.对应学生用书P23 一、选择题1否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个偶数Da、b、c中至少有两个偶数或都是奇数解析：三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含
8、“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合答案：D2设M，则()AM1BM1 DM与1大小关系不定解析：2101210,2102210，2111210，M2)，则()Apq Bp0，p224，而q(a2)24，由a2，可得qq.答案：A二、填空题5给出下列两种说法：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2，所以错误；对于，其假设正确答案：6用反证法证明“已知平面上有n(n3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为_解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该
9、是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n1条”答案：直径的数目至少为n1条7A1与(nN)的大小关系是_解析：A.答案：A8设a0，b0，M，N，则M与N的大小关系是_解析：a0，b0，N M.MN.答案：MN三、解答题9已知0x2,0y2,0z1且y(2z)1且z(2x)1均成立，则三式相乘有：xyz(2x)(2y)(2z)1.由于0x2，0x(2x)x22x(x1)211.同理：0y(2y)1，且0z(2z)1，三式相乘得：0(xyz)证明： |x|x.同理可得：y，z.由于x、y、z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：(xyz)11设数列an的前n项和为Sn，a11，Snnan2n(n1)(1)求数列an的通项公式an；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解：(1)由Snnan2n(n1)得an1Sn1Sn(n1)an1nan4n，即an1an4.数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，an4n3.(2)证明：Tn.又易知Tn单调递增，故TnT1，得Tn.第9页
