《2017-2018学年人教b版必修四 向量的线性运算 学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年人教b版必修四 向量的线性运算 学案（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第1课时向量的加法在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处，如图所示它的实际位移，可以看作水平运动的分位移与竖直运动的分位移的合位移问题1 根据物理中位移的合成与分解，你认为，之间有什么关系？提示 .问题2 与之间有什么关系？提示 .问题3 向量，之间有什么关系？提示 .1向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法2向量加法的运算法则(1)三角形法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作a，b，则向量 叫做a与b的和，记作ab，即ab .(2)平行四边形法则 已知两个不共线的非零向量a，b，作a，b，以 ， 为邻边作OABC，则以O为起点的对角线上的向量 ab，如图这个法则叫做两
2、个向量求和的平行四边形法则问题1 如图，ab；同理ba.由此你能得出什么结论？提示 abba.问题2 如图，abc；a(bc)；(ab)c.由此你又能得出什么结论？提示 abca(bc)(ab)c.向量加法的交换律和结合律(1)交换律 abba；(2)结合律 (ab)ca(bc)；(3)a00aa；(4)a(a)(a)a0.1向量加法的三角形法则是从位移求和引出的，使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，当两个向量平行(或共线)时，三角形法则同样适用2向量加法的平行四边形法则是从力的合成引出的，使用该法则关键是将向量a，b的起点移到同一点A，并以a
3、，b为邻边作平行四边形ABCD，则向量即为ab. 例1化简下列各式 (1) ；(2)()；(3).思路点拨多个向量相加，可以利用向量加法的三角形法则求解，也可直接运算精解详析(1)()0；(2)()()()；(3).一点通在进行向量加法运算时，利用运算律转化为“顺次首尾相接的形式相加”，即的形式，计算简捷且不易出错1在平行四边形ABCD中，_.解析 ().答案 2下列各式中结果为0的是_；.解析 原式0；原式()()0；原式()()0.原式()()0.故符合答案 3化简或计算 (1)；(2).解 (1)().(2)()()0.例2已知四边形AECF是平行四边形，B，D是对角线EF上的两点，且F
4、DEB(如图所示)求证 四边形ABCD是平行四边形思路点拨要证明四边形ABCD是平行四边形，可证明或.精解详析四边形AECF是平行四边形，FCAE，FCAE，又，方向相同，DFEB，且在一条直线上，与方向相同，ABDC，ABDC，四边形ABCD是平行四边形一点通解决此类问题应注意以下两点 (1)要注意向量加法的三角形法则及平行四边形法则的应用条件；(2)要注意方向相同且长度相等的有向线段所表示的向量是相等向量4.如图，正六边形ABCDEF中，_.解析 由于，故.答案 5在正六边形ABCDEF中，a，b，求，.解 如图所示，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF和四边形A
5、BCO均为平行四边形根据向量的平行四边形法则，有ab，故有22a2b.在平行四边形ABCO中，aab2ab.而ab，由三角形法则得baba2b. 例3小雨滴在无风时以4 m/s的速度匀速下落一阵风吹 ，使得小雨滴以3 m/s的速度向东移动那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何 ？(提示 tan 37)思路点拨根据题意作出示意图，然后利用向量解决精解详析法一 如图，设表示小雨滴无风时下落的速度，表示风的速度，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则就是小雨滴实际飞行的速度在RtOAC中， 4 m/s， 3 m/s，所以 5 m/s.且tan AOC，即AOC37.所以小雨滴实际飞行速度为5 m
6、/s，方向约为东偏南53.法二 如图，设表示小雨滴无风时下落的速度，表示风的速度，以OA，AB为两边作三角形OAB，则就是小雨滴实际飞行的速度在RtOAB中， 4 m/s， 3 m/s，所以 5 m/s.所以tan AOB，即AOB37.所以小雨滴实际飞行的速度为5 m/s，方向约为东偏南53.一点通利用向量解题，其关键是通过向量的运算建立向量与未知量的关系，然后求解并作出实际回答，解决时要注意作图的准确性6一条宽为 m的河，水流速度为2 m/h，船在静水中的航速为4 m/h，该船要从河的一边驶向对岸，为使行程最短，应怎样安排行驶方向？用时多少？解 如图，设为水流速度，为最大航速，以AC和AD
7、为邻边作平行四边形ACBD.根据题意ACAB，在RtABD和平行四边形ACBD中， 2， 4，ABD90，所以 2，sin BAD，所以BAD30.设所用时间为t(h)，则t(h)答 船沿着与水流方向成120的方向行驶可使行程最短，用时0.5小时7在日本“311”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60方向飞行了40 m到B地，再由B地沿正北方向飞行40 m到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置解 如图所示，设、分别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的合位移即，在Rt ABD中， 20 m， 20 m ，在RtACD中， 40 m，CAD60，即此时直升飞机位于A地北偏东30，且距离A地
8、40 m处向量加法法则的应用对于向量求和的三角形法则与平行四边形法则，要注意它们的应用条件当两个向量不共线时，它们是一致的但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义用三角形法则求两个向量和的步骤是 第一步 将其中一个向量平移，使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重合；第二步 将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和课下能力提升(十四)一、填空题1化简 _.解析 .答案 2若 a 8， b 5，则 ab 的取值范围是_解析 当a与b同向
9、时， ab 取最大值13；当a与b反向时， ab 取最小值3.答案 3,133设a()()，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号是_ababaabb ab a b ab a b 解析 a()()()()0，正确答案 4在边长为1的正三角形ABC中，若向量a，b，则 ab _.解析 如图，设AC的中点为D，由平行四边形法则知 ab 2 .答案 5下列命题中正确命题的个数为_如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a，b之一的方向相同ABC中，必有0若0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点若a，b均为非零向量，则 ab 与 a b 一定相等解析 假命题，当ab0时，命题不成立
10、；真命题；假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有0；假命题，只有当a与b同向时才相等答案 1二、解答题6已知A、B、C是不共线的三点，G是ABC内的一点，若0，求证 G是ABC的重心证明 如图所示，0，()，以、为邻边作平行四边形BGCD，则有，.又因为在BGCD中，BC交GD于点E，.AE是ABC的边BC的中线，且 2 .G是ABC的重心7已知 ，且AOB120，求 的值解 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则.因为 ，且AOB120，所以OAC是正三角形所以 .8一艘船以5 m/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度和船实际速度(保留小数点后
11、1位数字)解 如图，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向的速度，表示船实际航行的速度，其中AOC30， 5( m/h)因为四边形OACB为矩形，所以 58.7( m)， 10( m)所以船的实际速度大小为10 m/h，方向与河岸成30角，水流速度大小约为8.7 m/h.第2课时向量的减法问题1 我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数，想一想，向量减法是否也有类似法则？提示 有，向量a减去b相当于加上b的相反向量b.问题2 已知向量a和b，如何作出ab?提示 作a，b，b.则a(b)ab，因四边形ABCD为ABCD，ab.问题3 向量的减法是否也满足三角形法则和平行四边形法则？提示 满足，作a
12、，b，则ab.1向量减法的定义若bxa，则向量x叫做a与b的差，记为ab，求两个向量差的运算，叫做向量的减法2向量的减法法则以O为起点，作向量a，b，则ab，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是ab.向量减法的实质是向量加法的逆运算，利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法，在运用三角形法则做向量减法时，只要记住“重合两向量的起点，连结两向量终点，箭头指向被减向量”即可 例1化简 ()()思路点拨解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简精解详析法一 ()()()()0.法二 ()()()()()0.法三 在平面上取一点O，则，()()()()()()0.一点通法一是把向量的减法转化为加法进行化简；法二是利用向量减法法则进行化简；法三可设一个辅助点O，利用的关系进行化简事实上，平面内任一向量都可以写成两个向量的和；同样，任一向量都可以写成两个向量的差要学会通过这种转化 简化运算1下
