《2016-2017学年人教b版选修4-5 用数学归纳法证明不等式 学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年人教b版选修4-5 用数学归纳法证明不等式 学案（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课堂导学三点剖析一,用放缩法证明不等式【例1】 证明1+2-(n2).证明：当n=2时,左边=1+=,右边=.左右,成立.假设n=k时成立,即1+2-.当n=k+1时,1+2-+2-+=2- (1-)2-.温馨提示观察所证式子与已知条件,可以发现采用此法是较简单的.二,证明数列不等式【例2】 设数列an满足an+1=an2-nan+1,(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并猜想an的通项公式;(2)当a13时,证明对所有n1有ann+2.解：(1)由a1=2得a2=a12-a1+1=3;由a2=3得a3=a22-2a2+1=4;由a3=4得a4=a32-3a3+1=5.由此猜想an的一个通
2、项公式为an=n+1(n1).(2)当n=1时,a13=1+2,不等式成立.假设当n=k时不等式成立,即akk+2,那么ak+1=ak(ak-k)+1(k+2)(k+2-k)+1k+3.n=k+1时,ak+1(k+1)+2.当n1时,ann+2.温馨提示从已知条件入手,寻求它们的内在联系,从而找出证明的途径,充分利用不等式的性质进行放缩证明.三,运用柯西不等式证明【例3】 +.证明：+2=(x1-x3)2+(y1-y3)2+(x2-x3)2+(y2-y3)2+2(x1-x3)2+(y1-y3)2+(x2-x3)2+(y2-y3)2+2=(x1-x3)2+(x2-x3)2+(y1-y3)2+(y
3、2-y3)2+2|(x1-x3)(x2-x3)+(y1-y3)(y2-y3)|(x1-x3)2+(x2-x3)2+(y1-y3)2+(y2-y3)2+2(x1-x3)(x3-x2)+2(y1-y3)(y3-y2)=(x1-x3+x3-x2)2+(y1-y3+y3-y2)2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.原不等式成立.温馨提示柯西不等式是一个重要不等式,是与高等数学的结合点,要灵活应用.各个击破类题演练1用数学归纳法证明不等式2nn2时,n应取的第一个值为()A.1B.2C.3D.4解析:计算可知.答案:D变式提升1用数学归纳法证明1+1)时,在第二步证明从n=k到n=k+1成立时,左边增
4、加的项数是()A.2kB.2k-1C.2k-1D.2k+1解析:增加项为+共2k项.答案:A类题演练2设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(nN*),证明对任意的n1,an=3n+(-1)n-12n+(-1)n2na0.证明:当n=1时,a1=1-2a0成立.假设当n=k(k1)时,等式成立,即ak=3k+(-1)k-12k+(-1)k2ka0,那么ak+1=3k-2ak=3k-3k+(-1)k-12k-(-1)k2k+1a0=3k+1+(-1)k2k+1+(-1)k+12k+1a0,也就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据和可知,等式对任何正数n成立.变式提升2用数学归纳法证明+时,由n=k到n=k+1时,左边增加项为_.解析:当n=k+1时,左边=+,增加式子为+-=-.答案:-类题演练3求函数的最大值.解:函数定义域为6,7,且y0.,当且仅当4=,即x=时函数取最大值.变式提升3已知a2+b2=2,c2+d2=4,求ad+bc的最大值.解:ad+bc|ad+bc|=2.当且仅当ad+bc0,且ac=bd时,(ad+bc)=2.
