《2016-2017学年人教b版选修4-5 反证法和放缩法 学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年人教b版选修4-5 反证法和放缩法 学案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学人教B选修4-5第一章1.5.3反证法和放缩法1理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法证明不等式的方法2掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式1反证法假设要证明的命题是_的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)_的结论，从而得出原来结论是_的，这种方法称作_用反证法证明不等式必须把握以下几点：(1)必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证否则，仅否
2、定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背，推导出的矛盾必须是明显的【做一做11】应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()结论相反的判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论A BC D【做一做12】实数a，b，c不全为0的等价条件为()Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为02放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值_使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法其关键在于_用放缩法证明不等式时，
3、常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性缩小分母、扩大分子，分式的值增大；缩小分子、扩大分母，分式的值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和【做一做21】设M，则()AM1 BM1CM1 DM与1的大小关系不确定【做一做22】lg 9lg 11与1的大小关系是_答案：1不正确矛盾正确反证法【做一做11】C【做一做12】D2适当放大(或缩小)放大(缩小)要适当【做一做21】B分母全换成210，共有210个单项【做一做22】lg 9lg 111lg 90，lg 110，1.lg 9lg 111.1反证法
4、中的数学语言是什么？剖析：反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设：常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个以上是有或存在不全不都是对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此2放缩法的尺度把握等问题有哪些？剖析：(1)放缩法的理论依据主要有：不等式的传递性；等量加不等量为不等量
5、；同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较；基本不等式与绝对值不等式的基本性质；三角函数的有界性等(2)放缩法使用的主要方法：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考查常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等比如：舍去或加上一些项：(a)2(a)2；将分子或分母放大(缩小)：，(kR，k1)等题型一 用反证法证明否定性结论命题【例题1】已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于.分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅
6、有一种情况，因此适宜用反证法证明反思：(1)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：与已知矛盾；与假设矛盾；与显然成立的事实相矛盾题型二 用反证法证明“至多”“至少”类问题【例题2】已知f(x)x2bxc，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.分析：问题从正面证明不易入手，适合应用反证法证明反思：(1)在所要证明的问题中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程
7、中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾题型三 用放缩法证明不等式【例题3】(1)设a，b为不相等的两个正数，且a3b3a2b2，求证：1ab.(2)求证：(1)()(n2)分析：运用放缩法进行证明反思：用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩，拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩等放缩时要注意适度，否则不能同向传递题型四 易错辨析易错点：在证明不等式时，因不按不等式的性质变形，从而导致证明过程错误【例题4】已知a，bR，求证：.错解：证明：a2b22ab，ab2，.错因分析：上面证明时应用了“”这个错误结论答案：【例题1】证明：证法一：假设(1a)b，(1b)c，(1
8、c)a同时大于，即有(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c.a(0,1)，1a0，(1a)a2.同理，(1b)b，(1c)c.(1a)a(1b)b(1c)c(当且仅当abc时等号成立)，与假设矛盾，原结论正确证法二：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a同时大于.0a1，1a0，又b(0,1)，.同理，.三式相加，得，矛盾原结论成立【例题2】证明：证法一：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|，则，得2bc，与矛盾假设不成立，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.证法二：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，
9、则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)|f(1)f(3)2f(2)(1bc)(93bc)2(42bc)2.两式显然矛盾，假设不成立|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.【例题3】证明：(1)由题设，得a2abb2ab，于是(ab)2a2abb2ab，故ab1.又(ab)24ab，而(ab)2a22abb2ababab，即(ab)2ab，所以ab.所以1ab.(2)因为，将上述各式两边分别相加，得1.所以(1).【例题4】正解：证明：111，当且仅当ab时，等号成立即.1用反证法证明：若整系数一元二次方程a
10、x2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数下列假设中正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c中至多有一个偶数D假设a，b，c中至多有两个偶数2设x，y(0，)，且xy(x1)1，则()Axy21 Bxy21Cxy(1)2 Dxy(1)23若a，b，c(0，)，则三个数a，b，c()A都大于2B都小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于24比较大小：1_.5若正数a，b满足ab1ab，则ab的最小值为_答案：1B2B由x，y(0，)，xy(x1)1，得y1，则xy(x)121，当且仅当x时等号成立3D假设a，b，c都小于2，则(abc)
11、6.a2，b2，c2，(abc)6，当且仅当abc1时等号成立这与假设矛盾三个数中至少有一个不小于2.41.522由于ab2，故1ab2，(ab)24(ab)40，ab22或ab22.又a0，b0，ab22.当且仅当ab0时等号成立1设(2a3)，(xR)，则M，N的大小关系为()AMN BMNCMN D不能确定答案：C2a3，a20，M24，当且仅当a21，即a3时等号成立，但2a3，所以等号不成立，所以M4.又，MN.2已知a，b，c，d都是正数，则有()AS1 BS1CS2 D以上都不对答案：Ba，b，c，d(0，)，.3已知a，b(0，)，则下列各式中成立的是()Acos2lg asi
12、n2lg blg(ab)Bcos2lg asin2lg blg(ab)Cacos2bsin2abDacos2bsin2ab答案：Acos2lg asin2lg bcos2lg(ab)sin2lg(ab)lg(ab)4对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案：C对于，若(ab)2(bc)2(ca)20，则abc，不符合题意，故正确对于，当ab与ab及ac都不成立时，有abc，不符合题意，故正确对于，显然不正确5已知x，y(0，)，且xy，记，则M，N，P，Q中最大的一个是()AM BN CP DQ答案：A，.x，y(0，)，且xy，2，MN，MQ，显然MP，最大的一个是M.6若要证明“a，b至少有一个为正数”，用反证法的反设应为_答案：a，b都不是正数(或a0且b0)7在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若C90，则的取值范围为_答案：(1，
