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1、 1.分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是(a0，m，nN，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)幂的运算性质amanamn，(am)namn，(ab)nanbn，其中a0，b0，m，nR.2.指数函数的图像与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(6)是R上的增函数(7)是R上的减函数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na.()(2)分数指数幂可以理解为个a相乘.()(3)(1)(1).()(4)函数yax是R上的增函数.()中华.资*源%库
2、 (5)函数yax21(a1)的值域是(0，).()(6)函数y2x1是指数函数.()1.函数f(x)ax1 (a0，且a1)的图像一定过定点()A.(0,1) B.(1,1)C.(1,0) D.(0,0)答案B解析令x10得x1，此时ya01，所以点(1,1)与a无关，所以函数f(x)ax1(a0，且a1)的图像过定点(1,1).2.函数f(x)ax(a0，a1)的图像可能是()答案DWWW解析函数f(x)的图像恒过(1,0)点，只有图像D适合.3.计算lg lg 25_.答案1解析lg lg 25lg 4lg 253lg 100321.4.若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的
3、取值范围是_.答案(，1)(1，)解析由y(a21)x在(，)上为减函数，得0a211，1a22，即1a或a1.5.函数y823x(x0)的值域是_.答案0,8)解析x0，x0，3x3，023x238，0823x0，b0)；(2)()(0.002)10(2)1()0.解(1)原式ab1.(2)原式()()1()50010(2)11010201.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有
4、负指数.(1)(0.064)2.5 0_.(2)()_.答案(1)0(2)解析(1)原式1110.(2)原式.题型二指数函数的图像及应用例2(1)函数f(x)axb的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b1，b0C.0a0D.0a1，b0(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_.答案(1)D(2)1,1解析(1)由f(x)axb的图像可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图像是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0，故选D.(2)曲线|y|2x1与直线yb的图像如图所示，由图像可知如果|y|
5、2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1.思维升华(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解.(1)在同一坐标系中，函数y2x与yx的图像之间的关系是()A.关于y轴对称 B.关于x轴对称C.关于原点对称 D.关于直线yx对称(2)已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一
6、定成立的是()A.a0，b0，c0 B.a0C.2a2c D.2a2c2答案(1)A(2)D解析(1)yx2x，它与函数y2x的图像关于y轴对称.(2)作出函数f(x)|2x1|的图像，如图，abf(c)f(b)，结合图像知0f(a)1，a0，02a1.f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1.12cf(c)，12a2c1，2a2c1.73 B.0.610.62C.0.80.11.250.2 D.1.70.3cb解析(1)A中， 函数y1.7x在R上是增函数，2.53，1.72.51.73，错误；B中，y0.6x在R上是减函数，10.62，正确；中华.资*源%库 C中，(0.8)11.2
7、5，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11,00.93.10.93.1，错误.故选B.(2)yx为减函数，即b01，ac，故acb.命题点2解简单的指数方程或不等式例4设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A.(，3) B.(1，)C.(3,1) D.(，3)(1，)答案C解析当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，即a3，因为03，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a0且a1)是定义域为R的奇函数.(1)若f(1)0，试求不等式f(x22x)f(x4
8、)0的解集；(2)若f(1)，且g(x)a2xa2x4f(x)，求g(x)在1，)上的最小值.解因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，所以k10，即k1，f(x)axax.(1)因为f(1)0，所以a0，又a0且a1，所以a1.因为f(x)axln aaxln a(axax)ln a0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x22x)f(4x)，所以x22x4x，即x23x40，所以x1或x1或x4.(2)因为f(1)，所以a，即2a23a20，所以a2或a(舍去).所以g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令t(x)2x2x(x1)，则t(x)
9、在(1，)为增函数(由(1)可知)，即t(x)t(1)，所以原函数为(t)t24t2(t2)22，所以当t2时，(t)min2，此时xlog2(1).即g(x)在xlog2(1)时取得最小值2.思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.(1)已知函数f(x)2|2
10、xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_.(2)若函数f(x)，其定义域为(，1，则a的取值范围是()A.a B.aC.a D.a0答案(1)(，4(2)A解析(1)令t|2xm|，则t|2xm|在区间，)上单调递增，在区间(，上单调递减.而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4.(2)由题意得13xa9x0的解集为(，1，即2xa0的解集为(，1.令tx，则t，即方程t2ta0的解集为，所以2a0，a.4.换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例(1)函数yxx1在区间3,2上的值
11、域是_.(2)函数f(x)的单调减区间为_.思维点拨(1)求函数值域，可利用换元法，设tx，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域.(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求.解析(1)因为x3,2，所以若令tx，则t，故yt2t12.当t时，ymin；当t8时，ymax57.故所求函数值域为.(2)设ux22x1，yu在R上为减函数，函数f(x)的减区间即为函数ux22x1的增区间.又ux22x1的增区间为(，1，f(x)的减区间为(，1.答案(1)(2)(，1温馨提醒(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化.方法与技巧1.通过指数函数图像比较底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值，再进行
