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1、University Physics,Xian Jiaotong University Zhao ShuMin,对刚体上所有质点的动能求和,在刚体上任取一质点Pi,质点Pi的动能为,（刚体绕定轴转动的转动动能）,各质量元速度不同， 但角速度相同,刚体绕定轴转动的动能就是组成刚体所有质点的动能之和；,6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,二. 力矩的功,O,功的定义,力矩作功的微分形式,对一有限过程,若 M = C,( 积分形式 ）,力的累积过程力矩的空间累积效应,. P,(力矩的功就是力的功) 力矩所作的功实质上就是力所作的功 在刚体转动情况下的表现形式。,三.刚体绕定轴转动的动能定理, 合
2、力矩功的效果,对于一有限过程,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理,(2) 内力矩作功之和为零。,讨论,(1) 合力矩的功,刚体重力势能,刚体的机械能,质心的势能,刚体的机械能,刚体重力势能与其质量全部集中在质心上的质点具有的重力势能相同。,（系统的机械能守恒定律）,对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作功，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则该系统的机械能守恒。,当 A外 + A非保内 = 0 时，有,力学系统的机械能应包括,质点的动能、重力势能，弹性势能； 平动刚体的平动动能、重力
3、势能； 定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即,刚体的机械能守恒,图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t，,例,解,分析（机械能）：,求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。,机械能守恒,一. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律,1. 质点的动量矩(对O点),其大小,(1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有
4、关,特例：质点作圆周运动,6.3 动量矩和动量矩守恒定律,说明,O,S,(2) 质点对轴的动量矩：当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩,(3) 质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩,例,一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3,求 此时刻质点对三个参考点的动量矩,解,例,z,A,O,方向：,(质点动量矩定理的积分形式),(质点动量矩定理的微分形式),2. 质点的动量矩定理,冲量矩,质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量,
5、说明,冲量矩是质点动量矩变化的原因,质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果,3. 质点 动量矩守恒定律,质点动量矩守恒,(1) 守恒条件,(2) 有心力的动量矩守恒。,讨论,M,O,应用：,mv1,mv2,由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律,行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积,当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一,求 角及着陆滑行时的速度多大？,解,引力场（有心力）,质点的动量矩守恒,系统的机械能守恒,例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星.,质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面,例,关于 O 点？,关于 A 点？,关
6、于 Z 轴？,二.质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律,质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和,以质心 C 为动参照系的原点,，对第 i 个质点：,，则,设其相对于质心的位置矢量为,，速度为,1. 质点系的动量矩,O,C,(1) 质点系的动量矩(角动量)可分为两项,第一项：只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度,轨道角动量,第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和,自旋角动量,说明,C,(2) 质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心 处的一个质点对于参考点的角动量。它反映了整个质点 系绕参考点的旋转运动,(3) 质点系的自旋角动量是以质心为
7、参考点的角动量。与质心运动无关。它只代表系统的内禀性质 （地球）,2. 质点系的动量矩定理,微分形式,积分形式,质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量,说明,质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩,三. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,1. 刚体定轴转动的动量矩,刚体对转动轴的动量矩 ,刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为 且具有相同的方向,O,(所有质元对Z轴的动量矩之和),3. 质点系动量矩守恒定律,对质点系,如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动量矩守恒,如,可以证明，此式也适用于在物体转动过程中，J发生变化的过程，而M = J 仅适用于转动惯量不变的过程。
8、,（刚体定轴转动的动量矩定理）,作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩等于刚体对该轴的动量矩对时间的导数。,2. 刚体绕定轴转动的动量矩定理,将刚体的动量矩对时间求导,刚体对确定轴的转动惯量不变，则,说明：,积分形式的动量矩定理,（定轴转动动量矩定理的积分形式）,定轴转动刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一时间内动量矩的增量。,可以证明，对转动惯量J 可变化的质点系或非刚体，在定轴转动时，动量矩定理仍成立，即有,说明：,当作用在定轴转动物体上的合外力矩为零时，物体在运动过程中的动量矩保持不变。,（动量矩守恒定律）,动量矩守恒不仅适用于刚体，也同样适用于非刚体。,对非刚体，动量矩守恒时，
9、转动惯量和角速度同时 改变，但两者乘积不变：当J变大时，角速度变小； 当J变小时，角速度变大。,3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律,对定轴转动刚体,说明,当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒,如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等,分析人和转盘组成的系统当双臂由r1变为r2后，系统转动惯量、转动角速度和机械能的变化情况。,由角动量守恒，有,非保守内力作正功，机械能增加。,得,系统机械能的变化,z,R,v0,R / 2,v = ?,Mz角动量守恒,mv0 R,mv R / 2,v = 2v0,例,角动量守恒定律在工程技术上的应用,陀螺仪与导航,支架S 外环 陀螺G 内环,陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。,陀螺仪的特点：具有轴对称性和绕对称轴有较大的转动惯量。,陀螺仪的定向特性：由于不受外力矩作用，陀螺角动量的大小和方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化。,
