高中数学重点知识及结论分类分析

《高中数学重点知识及结论分类分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学重点知识及结论分类分析（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、高中数学重点知识与结论分类解析 一、集合与简易逻辑 1集合的元素具有确定性、无序性和互异性 2对集合 ， 时，必须注意到“极端”情况： 或 ；求集合的子集时 是否注意到 是任何集合的子集、 是任何非空集合的真子集 3对于含有 个元素的有限集合 ，其子集、真子集、非空子集、非 空真子集的个数依次为 4 “交的补等于补的并，即 ” ； “并的补等于补的交，即 ” 5判断命题的真假 关键是“抓住关联字词” ；注意： “不或即 且 ，不且即或 ” 6 “或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假” ； “且命题”的真 假特点是“一假即假，要真全真” ； “非命题”的真假特点是“一真一 假” 7四种命题中

2、“ 逆者交换也” 、 “ 否者否定也” 原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价反证 法分为三步：假设、推矛、得果 注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是条件不变，仅否定结 论所得命题” ，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否 定原命题的结论作为结论的所得命题” 8充要条件 二、函 数 1指数式、对数式， 2 （1）映射是“ 全部射出加一箭一雕 ” ；映射中第一个集合 中 的元素必有像，但第二个集合 中的元素不一定有原像（ 中元素的像 有且仅有下一个，但 中元素的原像可能没有，也可任意个） ；函数是 “非空数集上的映射” ，其中“值域是映射中像集 的子集” （2）函数图

3、像与 轴垂线至多一个公共点，但与 轴垂线的公共点可 能没有，也可任意个 （3）函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能 成为函数图像 3单调性和奇偶性 （1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全 相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 注意： （1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点 对称确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等对于偶 函数而言有： （2）若奇函数定义域中有 0，则必有 即 的定义域时， 是 为奇函 数的必要非充分条件 （3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取 值、作差、鉴定）

4、、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法（图 像法） 、特殊值法等等 （4）既奇又偶函数有无穷多个（ ，定义域是关于原点对称的任意一 个数集） （7）复合函数的单调性特点是： “同性得增，增必同性；异性得减， 减必异性” 复合函数的奇偶性特点是： “内偶则偶，内奇同外” 复合函数要考虑 定义域的变化。 （即复合有意义） 4对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记） （1）函数 与函数 的图像关于直线 （ 轴）对称 推广一： 如果函数 对于一切 ， 都有 成立， 那么 的图像关于直线 （由 “ 和的一半 确定” ）对称 推广二：函数 ， 的图像关于直线 （由 确定）对称 （2）函数 与函数

5、 的图像关于直线 （ 轴）对称 （3）函数 与函数 的图像关于坐标原点中心对称 推广：曲线 关于直线 的对称曲线是 ； 曲线 关于直线 的对称曲线是 （5）类比“三角函数图像”得：若 图像有两条对称轴 ，则 必是周 期函数，且一周期为 如果 是 R 上的周期函数，且一个周期为 ，那么 特别：若 恒成立，则 若 恒成立，则 若 恒成立，则 三、数 列 1数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项 与数列的前 项和公式的关系： （必要时请分类讨论） 注意： ； 2等差数列 中： （1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性 （2） ； （3） 、 也成等差数列 （4）两等差数列对应项和

6、（差）组成的新数列仍成等差数列 （5） 仍成等差数列 （8） “首正” 的递等差数列中， 前 项和的最大值是所有非负项之和； “首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和； （9）有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数 列的总项数是偶数还是奇数决定若总项数为偶数，则“偶数项和” “奇数项和”总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则 “奇数项和”“偶数项和”此数列的中项 （10）两数的等差中项惟一存在在遇到三数或四数成等差数列时， 常考虑选用“中项关系”转化求解 （11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通 项法、和式法、图像法（也就是说数列是

7、等差数列的充要条件主要有 这五种形式） 3等比数列 中： （1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负） ，等比数列的首 项、公比与等比数列的单调性 （3） 、 、 成等比数列； 成等比数列 成等比数列 （4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列 （8） “首大于 1”的正值递减等比数列中，前 项积的最大值是所有大 于或等于 1 的项的积； “首小于 1”的正值递增等比数列中，前 项积 的最小值是所有小于或等于 1 的项的积； （9）有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数 列的总项数是偶数还是奇数决定若总项数为偶数，则“偶数项和” “奇数项和”与“公比”的积；若总

8、项数为奇数，则“奇数项和” “首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和 （10）并非任何两数总有等比中项仅当实数 同号时，实数 存在等 比中项对同号两实数 的等比中项不仅存在，而且有一对 也就是 说，两实数要么没有等比中项（非同号时） ，如果有，必有一对（同号 时） 在遇到三数或四数成等差数列时， 常优先考虑选用 “中项关系” 转化求解 （11）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通 项法、和式法（也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形 式） 4等差数列与等比数列的联系 （1） 如果数列 成等差数列， 那么数列 （ 总有意义） 必成等比数列 （2）如果数列 成等比数列，那

9、么数列 必成等差数列 （3）如果数列 既成等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数 数列；但数列 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必 要非充分条件 （4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新 数列也是等差数列， 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小 公倍数 如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列， 那么常 选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主， 探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列 注意： （1）公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 但 也有少数问题中研究 ，这时既要求项相同，也要求项数相同 （2）

10、 三（四）个数成等差（比）的中项转化和通项转化法 5数列求和的常用方法： （1）公式法：等差数列求和公式（三种形式） ， 等比数列求和公式（三种形式） ， （2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中 “同类项”先合并在一起，再运用公式法求和 （3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项 和有其共性或数列的通项与组合数相关联， 则常可考虑选用倒序相加 法， 发挥其共性的作用求和 （这也是等差数列前 和公式的推导方法） （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个 等比数列的通项相乘构成， 那么常选用错位相减法， 将其和转化为 “一 个新的的等比

11、数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等 比数列的项数是原数列的项数减一的差” ！ ）（这也是等比数列前 和公 式的推导方法之一） （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相 邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有： 特别声明： 运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系， 必要时分类讨论 （6）通项转换法。 四、三角函数 1 终边与 终边相同（ 的终边在 终边所在射线上） 终边与 终边共线（ 的终边在 终边所在直线上） 终边与 终边关于 轴对称 终边与 终边关于 轴对称 终边与 终边关于原点对称 一般地： 终边与 终边关于角 的终边对称

12、与 的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定 2弧长公式： ，扇形面积公式： ，1 弧度（1rad） 3三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦 正 注意： ， 4三角函数线的特征是：正弦线“站在 轴上（起点在 轴上） ” 、余 弦线 “躺在 轴上 （起点是原点） ” 、 正切线 “站在点 处 （起点是 ） ” 务 必重视 “三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，正 弦 纵坐标 、 余弦 横坐标 、 正切 纵坐标除以横坐标 之商 ” ；务必记住：单位圆中角终边的变化与 值的大小变化的关 系 为锐角 5三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“根据已知 角的范

13、围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号” ； 6三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限 7三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数（常值）的变换， 其核心是“角的变换”! 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、 角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 常值变换主要指“1”的变换： 等 三角式变换主要有：三角函数名互化（切割化弦） 、三角函数次数的 降升（降次、升次） 、运算结构的转化（和式与积式的互化） 解题时 本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技 巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次 注意：和（差

14、）角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式 选用；降次（升次）公式中的符号特征 “正余弦三兄妹 的联 系” （常和三角换元法联系在一起 ） 辅助角公式中辅助角的确定： （其中 角所在的象限由 a, b 的符号确 定， 角的值由 确定）在求最值、化简时起着重要作用尤其是两者 系数绝对值之比为 的情形 有实数解 8三角函数性质、图像及其变换： （1）三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性 注意：正切函数、余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影 响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是： 弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值， 其周期

15、性不变；其他不定如 的周期都是 , 但 的周期为 ， y=|tanx|的周期不变，问函数 y=cos|x|, ，y=cos|x|是周期函数吗？ （2）三角函数图像及其几何性质： （3）三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移 变换 （4）三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法（五点横坐标成 等差数列）和变换法 9三角形中的三角函数： （1） 内角和定理： 三角形三角和为 ， 任意两角和与第三个角总互补， 任意两半角和与第三个角的半角总互余锐角三角形 三内角都是锐 角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大 于第三边的平方 （2）正弦定理： （R 为三角形外接圆的半径） 注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则 务必注意可能有两解 （3）余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型 （4）面积公式： 五、向 量 1 向量运算的几何形式和坐标形式， 请注意： 向量运算中向量起点、 终点及其坐标的特征 2 几个概念： 零向量、 单位向量 （与 共线的单位向量是 ， 特别： ） 、 平行（共线）向量（无传递性，是因为有 ） 、相等向量（有传递性） 、 相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（ 在 上的投影是 ） 3两非零向