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1、1,第三章 静磁场,恒定电流所激发的静磁场,2,主要内容,超导体的电磁性质,阿哈罗夫玻姆(Aharonov-Bohm)效应,磁多极矩,磁标势,矢势及其微分方程,3,1 矢势及其微分方程,4,在给定的传导电流附近可能存在一些磁性物质，在电流的磁场作用下，物质磁化而出现磁化电流，它反过来又激发附加的磁场。磁化电流和磁场互相约制。,与解决静电学问题一样，求微分方程边值问题的解。,5,恒定电流磁场的基本方程,J是自由电流密度。上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。,1、矢势,6,静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷，永不闭合，可以引入标势来描述。 静磁场则是有旋无源场，磁感应线
2、总是闭合曲线，一般可以引入另一个矢量来描述。,由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。,7,则B可表为另一矢量的旋度,若,根据矢量分析的定理,A称为磁场的矢势,8,矢势A的意义：,通过曲面S的磁通量,把B对任一个以回路L为边界的曲面S积分,9,设S1和S2是两个有共同边界L的曲面，则,10,这正是B的无源性的表示。因为是无源的，在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应线终止，B线连续的通过该区域，因而通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲面S2的磁通量。这磁通量由矢势A对S1或S2的边界的环量表示。,11,因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路
3、为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义。,12,其中B0为常量。,例：设有沿 Z 轴方向的均匀磁场,13,由定义式,14,有解,另一解,15,因为任意函数的梯度和旋度恒为零，故有,即A+与A对应于同一个磁场B。A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义，而每点上的A本身没有直接的物理意义。,16,由A的这种任意性，为了方便，我们可以对它加上一定的限制条件即辅助条件,对于上式总可以找到一个A适合,17,证明：,设有某一解不满足上式,另取一解,18,A的散度为,取为泊松方程,的一个解，就得证。对A所加的辅助条件称为规范条件。,19,2、矢势微分方程,在均
4、匀线性介质内。把B=H和 B=A代入式H=J ，得矢势A的微分方程,20,由矢量分析公式,若取A满足规范条件A=0 ，得矢势的微分方程,21,A的每个直角分量Ai满足泊松方程,形式与静电场的方程相同,22,对比静电场的解得矢势方程的特解,式中x是源点, x为场点，r为由x到x的距离。上式也是第一章中由毕奥萨伐尔定律导出的公式,从毕奥萨伐尔定律可以证明上式满足规范条件，因此，该式确实是微分方程的解。,23,把磁场的散度和旋度作为基本规律，从微分方程出发引入矢势A，由A的方程获得特解，即可求得B。,24,过渡到线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换JdVIdl，得,这就是毕奥萨伐尔定律。,25
5、,3、矢势边值关系,当全空间的电流分布J给定时，可以计算磁场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势微分方程的边值问题。,26,磁场边值关系可以化为矢势A的边值关系，对于非铁磁介质， 矢势的边值关系为,在两介质分界面上磁场的边值关系为,27,在分界面两侧取一狭长回路，计算A对此狭长回路的积分。回路短边长度趋于零,上述边值关系式也可以用较简单的形式代替。,28,由于回路面积趋于零，有,因此,29,若取规范A=0 ，可得,即在两介质分界面上，矢势A是连续的。,所以,30,4、静磁场的能量,在静磁场中，可以用矢势和电流表示总能量。由B=A,磁场的总能量,31,则,和静电情形一样，此式仅对总能量有
6、意义，不能把A J/2看作能量密度，因为我们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分布区域内。,32,在上式中，矢势A是电流分布J本身激发的。如果我们要计算某电流分布J在给定外磁场中的相互作用能量，以Ae表示外磁场的矢势，Je表示产生该外磁场的电流分布，则总电流分布为J+Je，总磁场矢势为A+Ae。,33,此式减去J和Je分别单独存在时的能量之后，得电流J在外场中的相互作用能,34,由于,因此电流J在外场Ae中的相互作用能量为,35,例1 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和磁感应强度。,36,设P点到导线的垂直距离为R,电流元Idz到P点的距离为,积分是发散的。计算两点的矢势差值可以免除发
7、散 。,解,利用,得,37,若取R0点的矢势为零，计算可得,38,取A的旋度得磁感应强度,39,例2 半径为a的导线园环载电流I ，求矢势和磁感应强度,40,解,线圈电流产生的矢势为,41,用球坐标 (R, ) ，由对称性可知A只有分量，A只依赖于R, ,而与无关。因此我们可以选定在xz面上的一点P来计算，在该点上A = Ay 。取y分量。由于,42,则得,上式的积分可用椭园积分表示。当,时，可以较简单的计算出近似结果。,43,把根式对,若我们要计算B(R,)到二级近似。则A需要算到三级项。,展开。在积分表达式中展开式的偶次项对积分为零，因此只需保留奇次项。,44,包括远场,此式的适用范围是,和近轴场,45,我们计算近轴场。这种情况下用柱坐标(,z) 较为方便。展开式实际上是对,取至3项，有,取A的旋度，得,的展开式。,46,上式对任意z处的近轴场成立。若求近原点处的场,za ，可把上式再对z/a展开，得,
