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1、1,第三节 拉普拉斯方程 分离变量法,2,基本问题：电场由电势描述 电势满足泊松方程+边界条件,只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法,本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法,具体的工作：解泊松方程,3,在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的,例如,电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的,这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布,4,选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度0，泊松方程化为比较简单的
2、拉普拉斯方程,它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中的通解为,anm, bnm, cnm, dnm为任意常数,5,若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为,6,例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 R2），使这个导体球接地。求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。,7,这问题有球对称性，电势不依赖于角度和。设导体壳外和壳内的电势分别为,解,8,边界条件为：,（1）内导体接地,（2）整个导体球壳为等势体,（3）球壳带总电荷Q，,9,将通解代入边界条件,10,由这些边界条件得,其中,利用这些值得电势的解,导体球上的感
3、应电荷为,11,例2 电容率为的介质球置于均匀外电场E0中，求电势。,12,设球半径为R0，球外为真空（如图）。这问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线，取此轴线为极轴。,球内区域的电势,解,球外区域的电势,13,边界条件：,（1）无穷远处，,因而,（2）R0处，2为有限值，因此,（3）在介质球面上，有,14,则有,比较P1的系数得,可解出,其他Pn项的系数可解出为,15,所有常数已经定出，因此本问题的解为,在球内总电场作用下，介质的极化强度为,介质球的总电偶极矩为,1表达式中的第二项正是这个电偶极矩所产生的电势,16,例3 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，求电势和导
4、体上的电荷面密度。,17,用导体表面边界条件，照上例方法可解出导体球外电势,导体面上电荷面密度为,解,18,例4 导体尖劈带电势V，分析它的尖角附近的电场。,19,用柱坐标系, 取z轴沿尖边, 柱坐标下的拉氏方程为,设的特解为,解,20,把的特解叠加为通解形式为,则上式分解为两个方程,21,在尖劈=0面上，=V与r无关，因此,因r 0时 有限，得,在尖劈=2-面上， =V与r无关，必须,因此v的可能值为,22,考虑这些条件，可以重写,为了确定选定常数An, 还必须用某一大曲面包围着电场存在的区域, 并给定这曲面上的边界条件。,23,在尖角附近r 0 ，上式求和式的主要贡献来自r的最低次幂项，即n=1项,电场为,尖劈两面上的电荷面密度为,很小时,v1趋于1/2, 面电荷密度很大，趋于1/r1/2,
