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1、,第3章 力系的平衡,2. 平衡的几何条件,结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭。,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。,解： （1）取刚架为研究对象,（2）画受力图,（3）按比例作图求解,由图中的几何关系得,3. 平面汇交力系的平衡方程,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和等于零。,平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。,解： （1）取刚架为研究对象,（2）画受力图,（3）建立坐标系，列方程求解,解：（1）取销钉B为研究对象,（2）取挡板C为研究对象,解得,解得,解：取销钉B为研究对象,解：取销钉B为研
2、究对象,沿x轴投影，得,取销钉C为研究对象,沿y轴投影，得,又因为，FBC=FCB,3.2 平面力偶系的平衡,若物体在平面力偶系作用下处于平衡， 则合力偶矩等于零,反之，若合力偶矩为零，则该力偶系必然处于平衡。,由此得到平面力偶系平衡的必要与充分条件是：各力偶矩的代数和等于零。,称为平面力偶系的平衡方程,？,解：（1）取AB为研究对象,（2）取BC为研究对象,若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力对任意点之矩是否还等于力偶矩。,解: (1)取AB为研究对象,(2) 取CD为研究对象,解得,解得,因为 FB = FC,注意！,（1）明确研究对象
3、 （2）正确作出受力图 （3）列方程求解,文字不宜过多，但也不能过少。,力不允许多画，但也不能少画。,问刚体在四个力的作用下是否平衡? 若改变F1和F1的方向，则结果又如何。,当 M=PR 时，系统处于平衡，因此力偶也可以与一个力平衡，这种说法对吗。,图示系统平衡否?若平衡A、B处约束反力的方向应如何确定。,思考题？,例 题 8,两个完全相同的矩形。自重不计求A、B处的约束反力。,解：对于整体而言，力偶是平衡的，即A,B两处的力必为一对平衡力，如图。,FC,FA之间的距离,然后取矩形AC为研究对象,力偶平衡的方程式为,即,3.3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程,平面任意力系平衡的解析条件：所
4、有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。, 几点说明：,（1）三个方程只能求解三个未知量；,（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；,（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；,（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。,平衡方程,1. 平面任意力系的平衡方程,解法1:,(2) 画受力图,(3) 建立坐标系,列方程求解,(1) 取刚架为研究对象,解 法 2,解上述方程，得,解 法 3,解上述方程，得,（A、B、C 三点不得共线）,（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）,平面任意力系平衡方程的三种形式,基本形式,二力矩式
5、,三力矩式,是否存在三投影式？,解：取三角形板ABC为研究对象,（A、B两点的连线不得与各力平行）,二个方程只能求解二个未知量,二力矩式,2. 平面平行力系的平衡方程,平面任意力系的基本形式,假设所有的力都平行于y轴，则有,分布荷载的合力及其作用线位置,dP=q(x)dx,合力大小：,由合力之矩定理：,合力作用线位置：, 两个特例,(a) 均布荷载,(b) 三角形分布荷载,解：取AB梁为研究对象,例 题 10,悬臂梁如图所示，上面作用均部荷载q和集中荷载F。求固定端的反力。,解：取梁ABCD为研究对象,图示外伸梁，受到三角形荷载q = 1kN/m，以及集中荷载F = 2kN，求： A、B支座反
6、力。,例 题 12,解：以水平横梁AB为研究对象。,解：取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。,满载时不绕B点翻倒，临界情况下FA=0，可得,(1) 起重机不翻到,空载时，G2 = 0，不绕A点翻倒，临界情况下FB = 0，可得,则有 75 kNG3350 kN,列平衡方程,解方程得,(2) 取G3=180kN，求满载时轨道A ， B给起重机轮子的约束力。,解：取图示部分为研究对象,解：取梁和滑轮D为研究对象,构架如图，已知：a=3m，q=4kN/m，P=12kN,求：A处的反力。,例 题 17,解：取刚架AB为研究对象,其中 F112kN，F2=6kN,解：取图示部分为研究对象,假设BC
7、a,解：取弯杆BC为研究对象,取T形杆ADC为研究对象,3.4 空间力系的平衡方程,1. 空间汇交力系的平衡方程,空间汇交力系平衡的必要与充分条件为该力系的合力等于零,空间力偶系平衡的必要与充分条件为该力偶系所有力偶矩的矢量和等于零,2. 空间力偶系的平衡方程,平衡方程:,空间平行力系,平面任意力系,3. 空间任意力系的平衡方程,4. 空间平行力系的平衡方程,解：,建立如图坐标系Bxyz，其中y轴平分CBD。由于ABCD是正角锥，所以AB与y 轴 的夹角为。,三杆内力在坐标面Bxy上投影,1.取球铰链A为研究对象,受力分析如图。,为求各力在轴x，y上的投影，可先向坐标面Bxy上投影，然后再向轴
8、上投影。,力FAC 和 FAD 在轴 x，y上的投影：,3.联立求解。,负号表示三杆都受压力。,2.列平衡方程。,联立求解得,4.取球铰链B为研究对象,列平衡方程。,5.同理，再取球铰链C 和D为研究对象，可求得：,刀杆根部是固定端，约束反力是任意分布的空间力系，通常用这个力系向根部的A点简化的结果表出。一般情况下可有作用在A点的三个正交分力和作用在不同平面内的三个正交力偶。,解：,1.取镗刀杆为研究对象,受力分析如图。,3.联立求解。,2.列平衡方程。,解: 取起重机为研究对象,FA=26.3kN,FC=43.4kN,解: 取起重机为研究对象,解得: FA=19.3kN， FB=53.9kN
9、， FC=46.8kN,（2）当= 0，由上面第一个方程得：,为确保安全，必须：FA0,2. 列平衡方程。,综上，有,解：1. 取板为研究对象，受力分析如图。,结论与讨论,1、平面汇交力系平衡的几何条件为力多边形自行封闭。平衡方程为,2、平面力偶系的平衡方程为 M = 0 一个独立方程，可求解一个未知量。,本章讨论了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系、平面任意力系、空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系及空间任意力系的平衡。,应用几何条件或平衡方程都可求解两个未知量。,3、平面平行力系平衡方程为,5、空间汇交力系的平衡方程是X = 0，Y = 0，Z = 0。三个独立方程，可以解三个未知量
10、。,两个独立方程，可解两个未知量。,4、平面任意力系的平衡方程为X = 0，Y = 0，M0 (F) = 0。三个独立的方程，可以解三个未知量。它还有二矩式、三矩式，须注意应用条件。,8、空间任意力系的平衡方程是X = 0，Y = 0，Z = 0，Mx (F) = 0，My (F) = 0，Mz (F) = 0。六个平衡方程，可以解六个未知量。,6、空间力偶系的平衡方程是Mix = 0，Miy = 0，Miz = 0。三个独立方程，可以解三个未知量。,7、空间平行力系的平衡方程是Z = 0，Mx (F) = 0，My (F) = 0。三个独立方程，可以解三个未知量。,9、各种力系平衡方程一览表,
