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1、五. 模态分析,n自由度无阻尼系统的自由振动的一般性质：,主振型之间有联系，主要反映在主振型的正交性（重要性质）,（一）主振型的正交性：,正交性的证明：任选取两个不同主振型,由特征值问题方程 ：,(1),(2),（sr）,(1)式两端前乘 , (2)式两端前乘 得：,（3）,（4）,将（4）式两边转置：,（5）,（3）-（5）式得：,（6）式代入（3）式得：,4-1,（6）和（7）说明不同的两个主振型（r阶与s阶）存在着对质量矩阵（6）式和刚度 矩阵（7）式的正交性。统称主振型的正交性。 若对（1）式两边前乘 得：,因 ，因此二齐次函数（二次型）：,称第r阶主质量或模态质量,称第r阶主刚度或模
2、态刚度,（r=1,2,n）,(8)两边除 得,上式说明，第r阶固有频率平方 等于第r阶主刚度 与第r阶主质量 的比值（与单自由度公式类似）,归纳如下：,4-2,主振型正交性: 数学上 “线性独立”,（二）主振型正交性的物理意义：,“主振型”数学上是一个向量 ，当 为单位矩阵时，是向量的正交性。当向量表示空间有向线段时，是几何上线段“相互垂直”，当向量大于三维时，是相互线性独立性（任一向量不能用其它向量线性表示）,如图车床刀架简化模型，当刀架作微幅振动时，认为这两弹簧彼此独立，经计算系统主振型为：,第一阶主振型，沿坐标原点斜率为 的直线作振动。,第二阶主振型，沿坐标原点斜率为 的直线作振动。,通
3、过证明 （ 两条线段相互垂直）, 单质点的平面（二自由度）振动和空间（三自由度）振动，主振型的正交性同几 何上方向垂直概念相同。 多自由度多质点系的振动，主振型正交性无法用几何上方向垂直说明。其正交性 只能从能量的观点说明。,主振型正交性：物理意义,4-3,说明每一个主振动，动能和势能之和永远是常数。,多自由度系统动能T，势能U表达式：,则：,某一r阶主振动的动能和势能之和为常数：, 系统振动过程中，每一主振动内部动能和势能 可相互转化，象一独立单自由 度系统一样。 从能量观点：各阶主振动之间相互独立，之 间不会发生能 量传递。,4-4,将系统n个主振型 （主模态）每一个作为一列按阶次排列在一
4、个矩阵， 便组成 n阶 方阵 。,（三）模态矩阵（振型矩阵）,称模态矩阵（振型矩阵） 前面已证,因此:,根据正交性：上式=,模态质量矩阵（主质量矩阵）,=,4-5,同样：,可得,模态刚度矩阵（主刚度矩阵）,例：前面求出,模态矩阵,4-6,求模态质量矩阵：,求模态刚度矩阵：,4-7,（四）主坐标与模态分析,用 可使 都变成对角矩阵，自然会用 作为变换矩阵，对一般物理坐标系 进行坐标变换：,坐标变换,并在方程两边前乘 得：,展开,(25),方程（25）是以新的广义坐标 表达， 是模态刚度矩阵， 是模态质量矩阵（都是对角矩阵）。因此用广义坐标 表达的运动方程组是一个互不耦合，相互独立的。这正是坐标变
5、换的目的。,模态分析定义：用由系统各主振型组成的模态矩阵为变换矩阵，对原方程进行坐标变换，可使质量矩阵和刚度矩阵都同时对角线化；得到一组互不耦合的模态方程，其中每一个方程的结构都和一个单自由系统的运动方程相同，可用解单自由度系统的方法分别求解，得多自由度系统的响应。这样一个过程，通常称为模态分析。用这种方法求得的解是各主振型的线性叠加，故又称为振型叠加法。,4-8,坐标变换 物理意义： 展开形式：,原广义坐标 是系统各阶主振型 的线性组合。,振动系统的任何可能的运动都是各阶主振型按一定比例叠加起来的。 这n个比例因子，就是n个新的广义坐标 的值。称新的广义坐标 为主坐标或模态坐标。,主坐标 的
6、含义：（以某一r阶主坐标 说明）,表示第r阶 主振型 对运动的贡献，也可以说，主坐标 相当于r阶主振型的参与因子。,总之，每一个主坐标 的值，等于其对应各阶主振型分量在系统原坐标 值中占有成份的大小。,4-9,六动力响应 多自由度系统在动态力 作用下，激起受迫振动方程是：,（1）,用模态分析法对方程求解，先从无阻尼讨论，再讨论有阻尼情况,（一） 无阻尼情况,（2）,（1） 一般解题步骤： a).求 系统各阶固有频率 各阶主振型 并组成模态矩阵,b). 作坐标变换：,（3）,将方程变换为模态方程：,或：,（4）,4-10,（5）,或,c). 按单自由度系统的方法分别求解方程中各方程（4），得：,
7、d). 把求得的 回代到式（3） 最后得系统原广义坐标上的响应,分不同激振形式：简谐激励 初始激励 讨论：,（2）简谐激励： 当系统受到同频率的简谐激励： 有方程：,（a）,设系统的响应为,按上述解题步骤：,4-11,a. 求自由振动时各阶,b. 坐标变换：,得模态方程：,c. 用单自由度系统的方法求解模态方程：,设解为：,代入模态方程：,4-12,d.将（6）回代,受迫振动的振幅列阵为,（3） 初始激振：,设：t=0 时节,系统对初始激励的响应，是系统在给定初始条件下的自由振动。n自由度系统，给出2n个初始条件，能确定方程一组特解，此特解就是对初始激励的响应。（数学上称微分方程组的初值问题）
8、。 此类问题仍可用模态分析法求解，步骤与前面一样。,a.求自由振动时各阶,b.坐标变换： 得自由振动的方程（模态方程）,4-13,（8）,c).按求单自由度系统自由振动解一样，求各模态坐标的通解：,其待定常数 可由初始条件（t=0时）：,表示,与单自由度系统中初始条件决定待定常数情况一样，有：,问题： 需要初始条件是 而不是 因此必需,4-14,解决办法：由公式 反变换,因此在模态坐标系下的初始值：,求出 ， 后代入（8）式，得模态坐标对初始激励响应,实际工程计算中由于求 很难，通常不直接求能够 ，而用以下公式求：,求 ,因为 两边前乘,与（9）式 比较得,求 容易，为 （对角矩阵）， 矩阵转
9、置很方便。因此用式（11）求 容易得多。,因此（10）式：,4-15,d). 将求得的 ,回代到坐标变换式 ，可求出原坐标 所表达的响应：,例：上例，如图系统对初始条件t=0时,求系统响应。,解 ：求自由振动时各阶,（a）,4-16,坐标变换,模态方程式,按求解单自由度系统自由振动，求各模态坐标的通解,（b）,由公式 求模态坐标的初始值。,4-17,代入（b）式得 。 将求得 回代公式 得原坐标系 表示的响应：,4-18,结果表明：给定初始条件，系统自由振动同时包含三种振动分量（三种频率振动）,4-19,（二）有阻尼情况：,模态分析法关键是用模态矩阵为坐标变换矩阵解除方程耦合。 无阻尼系统，特
10、征值与特征向量是实数， 是实模态矩阵，求解方便。 有阻尼系统，特征值与特征向量是复数， 是复模态矩阵，求解困难得多。 一定条件下，有阻尼系统仍可用无阻尼实模态矩阵求解（不介绍有关复模态问题).,有阻尼多自由度系统受迫振动方程： 以实模态矩阵 作坐标变换得：,因此方程（15）并未完全解除耦合（通过速度项相互耦合）。,对小阻尼系统（一般0.2）,各固有频率彼此又不相等，且不太接近，系统响应主要受 主对角元素影响，非对角元素影响很小。 可近似作对角矩阵处理。（误差不大）。这样模态分析法有效推广到有阻尼的多自由度系统的振动问题上。,上式 为对角矩阵。,（14）,（15）,4-20,（对角矩阵）,其中： （16）,（17）,此时 方程（15）解除耦合，可表达为：,（18）,方程（18）用单自由度方法求解 ，得 ，再回代，得原坐标 下的响应。 例简谐激励： 依照前面无阻尼情况（7）式,受迫振动的振幅为：,(有阻尼模态表达式),思考题：当系统仅在j 坐标点受简谐激振力： , 求k坐标点的位移振幅 的表达式。,4-21,答案：,4-22,
