机器人学_第6章_动力学

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1、6.1 引言 6.2 拉格朗日力学方程 6.3 机械手的动力学方程 6.4 牛顿-欧拉方程 6.5 逆动力学方程,第六章 动力学 Chapter Dynamics,动力学是机器人控制的基础，本章主要从控制的角度来研究机械手的动力学问题。机械手通常是一种开链式多关节机构，是一种复杂的动力学系统，需要采用系统的分析方法来研究它的动态特性。 本章我们运用拉格朗日力学原理和牛顿-欧拉公式来分析机械手的动力学问题，使用两种方法求取了两自由度机械手的动力学方程。 最后，介绍了逆动力学的计算方法。,6.1 引言 ( Introduction ),拉格朗日算子 L 定义为系统的动能 K 与势能 P 的差 L

2、= K P (6.1) 系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示，并不一定要使用笛卡尔坐标。 动力学方程通常表述为 其中，qi是表示动能和势能的坐标值， 是速度，而Fi是对应的力或力矩，Fi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。,(6.2),6.2 拉格朗日力学 一个简例 ( Lagrangian Mechanics A Simple Example ),为了说明问题，我们看一个具体例子，假定有如图6.1所示的两连杆的机械手，两个连杆的质量分别为m1、m2，由连杆的端部质量代表，两个连杆的长度分别为d1、d2，机械

3、手直接悬挂在加速度为g的重力场中，广义坐标为1和2。,动能的一般表达式为 ，质量m1的动能可直接写出 势能与质量的垂直高度有关，高度用y坐标表示，于是势能可直接写出 对于质量m2，由图6.1，我们先写出直角坐标位置表达式，然后求微分，以便得到速度,(6.4),(6.3),(6.5),(6.6),6. 2. 1 动能和势能 ( The Kinetic and Potential Energy ),速度的直角坐标分量为,速度平方的值为,(6.9),从而动能为,(6.10),质量的高度由式(6.6)表示，从而势能就是,(6.11),拉格朗日算子 L = K P 可根据式(6.3)、(6.4)、(6.

4、10)和(6.11)求得,(6.12),6. 2. 2 拉格朗日算子 ( The Lagrangian ),为了求得动力学方程，我们现在根据式(6.2)对拉格朗日算子进行微分,（6.13）,（6.14）,（6.15）,6. 2. 3 动力学方程 ( The Dynamics Equations ),根据式(6.2)，把式(6.14)与(6.15)相减就得到关节1的力矩,（6.16）,(6.17),(6.18),(6.19),用拉格朗日算子对 求偏微分，进而得到关节2的力矩方程,于是关节2的力矩为,（6.20）,将式(6.16)和(6.20）重写为如下形式,在方程（6.21）和（6.22）中各项

5、系数 D 的含义如下： Dii 关节 i 的等效惯量（Effective inertia）， 关节 i 的加速度使关节 i 产生的力矩 Dij 关节 i 与关节 j 之间的耦合惯量（Coupling inertia） 关节 i 或关节 j 的加速度分别使关节 j 或 i 产生的力矩 和 Dijj 由关节 j 的速度产生的作用在关节 i 上的向心力 系数 （Centripetal force） Dijk 作用在关节 i 上的复合向心力（哥氏力 Coriolis force）的组合项 系数，这是关节 j 和关节 k 的速度产生的结果 Di 作用在关节 i 上的重力（Gravity）,把方程(6.1

6、6)、(6.20)与(6.21)、(6.22)比较，我们就得到各项系数的值： 等效惯量 D11 = (m1 + m2)d12 + m2d22 + 2m2d1d2cos(2 ) (6.23) D22 = m2d22 (6.24) 耦合惯量 D12 = m2d22 + m2d1d2cos(2 ) (6.25) 向心加速度系数 D111 = 0 (6.26) D122 = - m2d1d2sin(2 ) (6.27) D211 = m2d1d2sin(2 ) (6.28) D222 = 0 (6.29),哥氏加速度系数 D112 = D121 = - m2d1d2sin(2) (6.30) D212

7、 = D221 = 0 (6.31) 重力项为 D1 = (m1 + m2)gd1Sin(1) + m2gd2Sin(1 + 2 ) (6.32) D2 = m2gd2Sin(1 + 2 ) (6.33),推导机械手的动力学方程可按下述五个步骤进行 首先计算机械手任意连杆上任意一点的速度 ； 再计算它的动能 K ； 然后推导势能 P ； 形成拉格朗日算子 L = K P ； 对拉格朗日算子进行微分得到动力学方程 。,6.4 牛顿-欧拉方程,在考虑速度与加速度影响的情况下，作用在杆i上的力和力矩如图所示,i-1fi为杆件i-1对杆i的作用力； ifi1为杆件i1对杆i的作用力； i-1Ni为杆件

8、i-1对杆i的作用力矩； iNi1为杆件i1对杆i的作用力矩； ci为杆i的质心; Vci杆质心的平移速度 Wi杆的角速度向量,根据力、力矩平衡原理有：,上式：牛顿方程 下式：欧拉方程,Ii为杆i绕其质心的惯性张量：,由式（660）和（661）表示的牛顿欧拉方程没有明显地表示出关节位移与关节力间的关系，可以通过递推关系建立杆件的递归方程。,惯性力项,哥氏力和离心力,重力项,【例31】解出左图所示机械臂的牛顿欧拉运动方程，和用关节变量 ， 和关节力矩 ， 表示的封闭动态方程。,解：杆件1的牛顿欧拉方程可以表示为：,杆件2的牛顿欧拉方程可以表示为：,关节力矩和耦合力矩相等，有：,将式（666）代入

9、式（665），消去1f2，可得,同样，消去0f1，得到,在基坐标系中，杆1的重心为：,在基坐标系中，杆2的重心为：,杆1质心线速度、角速度为：,杆2质心线速度、角速度为：,从而,对上式进行时间微分，并将相关参数代入（667）和（668）式,式中：,6.5 机器人的逆动力学,机器人动力学逆问题对于机器人运动控制具有重要意义，因为机器人动力学逆问题研究在已知机器人运动状态时确定各关节驱动力矩（对于移动关节为力）的问题。为了满足实时控制的要求，算法要简洁有效。为此，本节介绍以牛顿-欧拉方程为基础的递推法。 6.5.1 关节力矩的递推法 由公式（6-60）（6-61）可得递推公式如下： 利用式（6-7

10、0）（6-71）计算各关节的力矩和力，所需要的运动学量也用递推法确定。,6.5.2 动坐标系,1.旋转坐标系中固定向量的速度 坐标系O0X0Y0Z0为固定坐标系，设坐标系OXYZ的原点不动，在固定坐标系中以角速度w旋转。任意向量s固定在坐标系OXYZ中，随旋转坐标系运动。S 的变化量为： 上式表示在旋转坐标系中向量 s 的速度 （由于旋转引起）。下角标 f 表示在固定 坐标系中。,相对动坐标系的运动 坐标系O0X0Y0Z0， OiXiYiZi和Oi+1Xi+1Yi+1Zi+1分别为固定坐标系，固定在杆i和杆i+1的坐标系。 由图可知： 在固定坐标系中对上式 求导，可得： 由于向量 和 是在固定

11、坐标系中 的向量，它们对时间的导数为在固定坐标系中的速度，用vi+1和vi表示，而向量 表示以动坐标系为参考的相对位移，在固定坐标系中，它对时间的导数可分解成相对动坐标系的速度与由于动坐标系的旋转而产生的速度。下标r表示相对动坐标系的运动。,对任意在旋转坐标系中向量的微分可以用如下微分算子进行。 则有：,6.5.3 运动学量递推关系 求角速度 和角夹速度 当关节i+1是平移关节时，杆i+1的角速度和角加速度和前面的杆相同。 2） 当关节i+1是旋转关节时，坐标系i+1的动坐标系zi轴以角速度 和角加速度 旋转，在固定坐标系中，杆i+1的角速度为,2.求平移速度vi+1和平移加速度ai+1 当关

12、节i+1是平移关节时，杆 i+1在坐标原点Oi+1处的平移速度为 当关节i+1是旋转关节时,求质心处的加速度aci 由于（6-70）式中的加速度 Aci是质心处的，所以需将上面 求出的坐标原点处的加速度转化 成质心处的加速度。,将以上求得的各杆件质心的速度加速度代入（6-70），同时，机械手末端受力情况可通过腕力传感器检出，所以，便可递推出各杆件的受力情况。,6.5.3 牛顿-欧拉动力学递推算法,牛顿-欧拉递推算法的已知条件 1.由逆运动学解出机器人轨迹的 2.质心Ci在坐标系i中的位置矢量 可用实验或测量等方法确定 3.惯性矩可用实验方法确定 4.位置矢量 可从变换矩阵得到 5.由上节6.5.2中公式从内向外推导各杆件的速度及加速度，从第一杆件一直 到机械手的末端，并计算相应杆件的惯性力及惯性力矩 6.由公式（6-70）（6-71）从外向内计算出各关节的驱动力及驱动力矩，从机械手的末端一直 到机器人基座,