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1、有限元作业答案 smartsrh 2016 年秋季中国科学院大学张年梅教授 2016 年 12 月 30 日 1.设下图所示三节点单元 ijm 的位移函数为 u(x) = a1+ a2x + a3x2，求其形函数矩阵 N 和单元刚度矩阵 ke 图 1: 题图 1 解： ui= a1(x = 0) uj= a1+ a2 L 2 + a3 (L 2 )2 (x = L 2 ) um= a1+ a2L + a3L2(x = L) = a1= ui a2= 4uj um 3ui L a3= 2um+ 2ui 4uj L2 u(x) = ui+4uj um 3ui L x+2um + 2ui 4uj L
2、2 x2= (2x L)(x L) L2 ui+4x(L x) L2 uj+x(2x L) L2 um N = NiNjNm = (2x L)(x L)4x(L x)x(2x L) /L2 B = dN dx = 4x 3L4L 8x4x L /L2 ke= V BTDBdV = L 0 1 L2 4x 3L 4L 8x 4x L E 4x 3L4L 8x4x L 1 L2 Adx = EA 3L 781 8168 187 1 有限元作业答案 smartsrh 2016 年秋季中国科学院大学张年梅教授 图 2: 题图 2 2.利用梁单元计算以下结构的应力。 解：将此梁划分为两个单元 AB 和
3、BC。首先计算节点等效载荷阵列 P = RyA+ FyARA+ MAFyBMBRyCRC T = RyA P/2RA Pl/8P/29Pl/8RyCRC T 计算各个单元刚度矩阵如下 K (AB) = 2EI l3 126l126l 6l4l26l2l2 126l126l 6l2l26l4l2 K (BC) = 2EI l3 63l63l 3l2l23ll2 63l63l 3ll23l2l2 K = K (AB) + K (BC) = 2EI l3 126l126l00 6l4l26l2l200 126l183l63l 6l2l23l6l23ll2 0063l63l 003ll23l2l2 K
4、 = P = 2EI l3 126l126l00 6l4l26l2l200 126l183l63l 6l2l23l6l23ll2 0063l63l 003ll23l2l2 0 0 vB B 0 0 = RyA P/2 RA Pl/8 P/2 9Pl/8 RyC RC = 6EI l3 6l l2l2 vB B = P/2 9Pl/8 = vB B = Pl3/528EI 25Pl2/264EI 2 有限元作业答案 smartsrh 2016 年秋季中国科学院大学张年梅教授 AB = E AB = E B AB AB = Ey (6l 12x)/l3(4l + 6x)/l2(6l 12x)/l3
5、(2l 6x)/l2 0 0 Pl3/528EI 25Pl2/264EI = Py I 47l 144x 264 BC = E BC = E B BC BC = Ey (6l 12x)/l3(4l + 6x)/l2(6l 12x)/l3(2l 6x)/l2 Pl3/528EI 25Pl2/264EI 0 0 = Py I 97l + 156x 264 3.证明三结点三角形单元的插值函数满足 Ni(xj,yj) = ij及 Ni+ Nj+ Nk= 1 证明： 假设三节点 i、j、m 逆时针方向编号，首先考虑横向位移 ui uj um = 1xiyi 1xjyj 1xmym 1 2 3 = 1 2
6、 3 = 1 2 xjym xmyjyixm xiymxiyj xjyi yj ymym yiyi yj xm xjxi xmxj xi ui uj um u = 1xy 1 2 3 = 1 2 1xy xjym xmyjyixm xiymxiyj xjyi yj ymym yiyi yj xm xjxi xmxj xi ui uj um NiNjNm = 1 2 1xy xjym xmyjyixm xiymxiyj xjyi yj ymym yiyi yj xm xjxi xmxj xi Ni(xi,yi) = 1 2 1xiyi xjym xmyj yj ym xm xj = 1 2 de
7、t 1xiyi 1xjyj 1xmym = 1 Ni(xj,yj) = 1 2 1xjyj xjym xmyj yj ym xm xj = 0 = Ni(xm,ym) Ni+ Nj+ Nm= 1 Ni(xj,yj) = ij 3 有限元作业答案 smartsrh 2016 年秋季中国科学院大学张年梅教授 4.证明三结点三角形单元的插值函数满足 Ni(xj,yj) = ij及 Ni+ Nj+ Nk= 1 证明： 假设三节点 i、j、m 逆时针方向编号，不妨考虑横向位移，纵向位移与此同理 ui uj um = 1xiyi 1xjyj 1xmym 1 2 3 = 1 2 3 = 1 2 xjym x
8、myjyixm xiymxiyj xjyi yj ymym yiyi yj xm xjxi xmxj xi ui uj um u = 1xy 1 2 3 = 1 2 1xy xjym xmyjyixm xiymxiyj xjyi yj ymym yiyi yj xm xjxi xmxj xi ui uj um NiNjNm = 1 2 1xy xjym xmyjyixm xiymxiyj xjyi yj ymym yiyi yj xm xjxi xmxj xi Ni(xi,yi) = 1 2 1xiyi xjym xmyj yj ym xm xj = 1 2 det 1xiyi 1xjyj 1
9、xmym = 1 Ni(xj,yj) = 1 2 xjym xmyj yj ym xm xj = 0 = Ni(xm,ym) Ni+Nj+Nm= 1xy 2 xjym xmyj yj ym xm xj + yixm xiym ym yi xi xm + xiyj xjyi yi yj xj xi = 1 2 det 1xiyi 1xjyj 1xmym = 1 Ni+ Nj+ Nm= 1 Ni(xj,yj) = ij 5.写出 9 结点矩形元 (每边中点为结点) 的位移函数 (以自然坐标表示)，应变矩阵。若 在 34 边作用有均布面力 q = 1 1TN/m2，试计算其在节点上的等效载荷 (单元
10、厚度 是 t，34 边长 2a，12 边长 2b)。 解： 9 结点矩形元 (每边中点为结点) 的位移函数 u v = N10N20.N90 0N10N2.0N9 u1 v1 . . . u9 v9 = N e 4 有限元作业答案 smartsrh 2016 年秋季中国科学院大学张年梅教授 式中 (根据本点为 1 它点为 0 的原则可得) N1=1 4(1 )(1 ) 1 4(1 )(1 2) 1 4(1 2)(1 ) + 1 4(1 2)(1 2) N2=1 4(1 + )(1 ) 1 4(1 2)(1 ) 1 4(1 + )(1 2) + 1 4(1 2)(1 2) N3=1 4(1 + )(1 + ) 1 4(1 + )(1 2) 1 4(1 2)(1 + ) + 1 4(1 2)(1 2) N4=1 4(1 )(1 + ) 1 4(1 2)(1 + ) 1 4(1 )(1 2) + 1 4(1 2)(1 2) N5=1 2(1 2)(1 ) 1 2(1 2)(1 2) N6=1 2(1 + )(1 2) 1 2(1 2)(1 2) N7=1 2(1 2)(1 + ) 1 2(1 2)(1 2) N8=1 2(1 )(1 2) 1 2(1 2)(1 2) N9=(1 2)(1 2) 应变矩阵 B = L N = N1/0N9/
