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1、彰显数学文化 突出数学素养 九江市2017年第二次模拟考试数学试卷分析及教学建议九江市第三中学 李高飞九江市2017年第二次模拟考试数学卷的命制，贯彻了2017年高考全国统一考试考试大纲的要求，试卷在稳定中求创新，重视考查学生的基本数学素养，全盘兼顾知识点、思想方法与能力的考查，关注数学的应用意识与创新意识，凸显数学文化的考查，试卷从基础题、中等题到难题梯度明显，有良好的区分度试卷所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。
2、 一、试卷分析1、引经据典，融史嵌名，彰显数学文化“依托数学史料，嵌入数学名题，彰显数学文化”，是该卷的一大鲜明的特色。目的是为了使学生接受数学文化的熏陶，领略古今中外数学思想和方法的魅力，应对今年高考对数学文化的要求。对数学文化的引入，使得数学充满了人文气息。这些试题与经典名题有关，背景涉及古今中外。如文科的第5题理科第10题源于“黄金双曲线”，渗透数学的美学价值。文科第10题理科的第9题借用数字黑洞考查了框图的知识。理科第16题隐含着阿波罗尼圆的背景，考查了解三角形知识和坐标法求最值得思想和方法。文理科18题的立体几何题，以九章算术中研究立体几何所用的两个特殊锥体（鳖臑、刍甍）为背景，与以
3、往对中国古代数学名著的题目不同，当能令考生留下深刻的印象。文理科第二十题解析几何解答题的背景，源于达芬奇的椭圆作图工具，由选修44课本中一道题改编而来。 例1：（文10理9）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的（B）否开始输出结束是A.135B.153C.315D.513解:的初始值为54是3的倍数，按上面规律运算如下：；，故选B.【点评】本题的命制背景为数字黑洞中的“水仙花数”黑洞，除了0和1自然数中各位数字的立方之和与其本身相等的只有153、370、371和407(此四个数称为“水仙花数”).任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然
4、后把这个新数ABCD的每一个数位上的数字再立方、求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数-153，我们称它为数字“黑洞”.例2.（理16）如图所示，在中，三内角所对的边分别为，已知，为上一点，且，则当的面积取最大值时，.解：由及正弦定理得，ABCDOxy即，以为原点，为轴建立直角坐标系，设得，化简得，当达到圆的最高点或最低点时，面积达到最大值此时可求出，.【点评】本题命制的背景为阿波罗尼圆，平面内到两个定点的距离之比为常数k（k1）的点的轨迹是圆，这个圆就是阿波罗尼圆。本题通过阿波罗尼圆，结合解三角形的知识点和定义法求动点轨迹，考察学生数形结合的思想和知识迁移的能力，属于中偏难题。例3. （文
5、19）九章算术中，有鳖臑（bino）和刍甍（chmng）两种几何体，鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形，ABCDFEH顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段.在如图所示的刍甍中，已知平面平面，且四边形为等腰梯形，. ()求证：四面体为鳖臑；()若鳖臑的体积为，求刍甍的体积.解：()过作，垂足为，四边形为等腰梯形，.，2分四边形为矩形，又平面平面，平面平面，平面平面，又平面，4分又平面，又，平面，平面，又平面，5分，和都为直角三角形，四面体为鳖臑6分()，平面平面，平面，平面平面底面，鳖臑的体积8分连接，把刍甍分割成四棱锥和三棱锥，四棱锥的底面面积是鳖臑
6、的底面面积的两倍，且高为10分又同理可证平面，刍甍的体积12分【点评】本题从九章算术中提炼出鳖臑和刍甍两种几何体的概念作为引入背景，来考查空间的垂直以及空间几何体的体积计算。2、注重基础，强调数学本质试题设计“依纲靠本，定位贴近教材，呈现方式自然，主干知识突出”。文理两卷依据教材的素材，经过组合加工、改造整合和拓展延伸的试题占半数以上。文科第1、2、3、4、6、7、13、16题和理科第1、2、3、4、5、7、13、14、15题，分别源自教材的相关例题习题。这些试题以熟悉的面孔出现，有利于考生稳定心态，正常发挥 。注重考查基础知识和基本技能，检验考生理解数学概念本质的能力。如理科第6题，考生可借
7、助抛物线的定义几何意义破题，其间隐现着抛物线和圆动态变化的本质特征。文科第12题，考生若能从已知函数结构的几何意蕴切入，通过数形结合的思想方法就可快速地确定符合题设条件的参变量的取值范围。理科第16、19、20、21题和文科第19、20、21题，理科第9、10题和文科第10题，题型新颖别致，能有效地区分考生对数学概念和本质的理解程度，考查考生的知识迁移能力、数学计算能力和应用能力。OABC4xy例4. 已知实数满足，则的最小值为(B)A.B.C.D.解：实数满足的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，图中，则直线经过点时，取最小值1，故选B.【点评】本题考查线性规划基础知识，是高考必考内容，突
8、出主干知识。贴近教材，来源于教材基础练习。例5. 已知为抛物线上动点，是圆上动点，设点到轴的距离为，则的最小值是（A）A.B.C.D.解：抛物线的焦点为，圆的圆心为，由抛物线定义得，故选A.【点评】本题主要考查了抛物线的定义和几何性质，意在考查考生使用圆锥曲线的定义解决问题的能力。同时还考查了学生怎样把动态变化的关系转化为固定不变的关系的能力。3、知能并重，强调交汇，突出数学素养坚持知识立意、问题立意和能力立意并重，注重在知识交汇点设计试题。如文科第3题考查了等比数列和对数的基础知识；第4题考查了三角函数和几何概型的基础知识；第7题同时考查了指数函数、对数函数、幂函数三种函数的基础知识；理科第
9、16题结合阿波罗尼圆同时考查了解析几何中圆的方程和解三角形中的正弦定理和余弦定理。借试题情境体验、感悟和反思数学问题，以突出对通性通法和数学素养的考查。文科第8题通过适当取不同的a值，来排除选项，考查了学生的识图能力。文理科第6、8、11、12题，理科16、21题考查了数形结合的思想方法。文科第9题理科6、16、21题，考查了化归与转化的数学思想，文科第15、16、18、20、21题，理科第12、21、22题，考查了函数与方程，分类讨论的数学思想。这些试题把数学知识、思想方法和数学能力融会贯通，要求考生在试题所创设的情境中，有意识地应用数学知识和技能处理问题，综合运用数学思想方法找到合理简捷的
10、解题途径。例6. 已知函数， ().()若直线与曲线、均相切于同一点，求实数的值；()当时，用表示两数中的最小值，设.求的表达式；若的最大值为，求的取值范围.解：()直线与曲线、均过原点，切点为原点1分又，2分，3分在上单调递增，且，4分()令，得，或令，在上单调递减，在上单调递增，且当时，故当时，方程恰有两根或5分，；故在上单调递减，在上单调递增6分又，；，故在上单调递增，在上单调递减7分8分当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，符合题意9分当时，在上单调递增，在上单调递减，符合题意10分当时，在上单调递增，在上单调递减，不符合题意11分综上所述，的取值范围是12
11、分【点评】本题考查了导数的几何意义、函数与导数的综合应用，采用了数形结合、分类讨论、函数与方程以及化归与转化的数学思想，设计到函数的构造等方法和技巧，综合性比较强，有一定的思维量和计算量，同时也设置了一定的思维障碍点。从解题情况来看，学生主要在找不到分类标准，不会构造函数；建议在今后复习中多做典型题型，特别是文科，同时要规范解题格式。4.突出重点，考查全面考试说明的考点，本次“二模”考试考查了其中的70以上考点，具有较大的覆盖面。虽然如此，试题并不刻意追求知识点的平均分布，而是做到重点知识重点考查。如考试大纲所指出的函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、圆锥曲线、立体几何、概率与统计、导数等
12、是中学数学的主干知识，重点章节。其中的核心模块概率与统计、三角函数、立体几何、圆锥曲线、数列、函数与导数在考查时保持了较高的比例，构成了数学试卷的主体. 同时“二模”试卷注重了学科的内在联系和知识的综合性，从学科的整体高度和思维价值的高度设计问题.尤其是解答题，涉及的内容均是高中数学的基础知识和主干内容，考查时重点非常突出，覆盖的知识点比较全面。对于其他非主干知识点也注意适度考查。例6、达芬奇椭圆仪是一种画椭圆的工具，它是由十字形滑槽和长杆构成，上的栓子可沿滑槽上下往复滑动，栓子可沿滑槽左右往复滑动，处的笔尖随、的滑动画出的图形Oxy即为椭圆.已知，以十字形滑槽的交点为原点，建立平面直角坐标系
13、.()求椭圆的方程；()设直线与椭圆相交于、两点，为椭圆上一点，且满足（，），若直线与圆（）相切，求的取值范围. 解：()设，则由已知可得：为的中点，即2分又，即椭圆的方程为5分()设，且在椭圆上，即， (*)7分当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， 联立，消去得 ，即， ，8分由(*)得，满足9分10分当直线的斜率不存在时，可设直线的方程为，由(*)得，又，11分综上所述，的取值范围是12分【点评】本题考查了圆锥曲线的轨迹方程的求法，同时考查了直线与圆锥曲线的位置关系和直线与圆的位置关系，综合性比较强，但解题方法仍然是我们常见的通性通法。同时，本题还考查了数形结合和函数与方程以及分类讨论的
14、数学思想。由于本题形式比较新颖，第一问解法众多（至少四种），题设环境陌生，故学生想得分也比较困难，建议后期复习，轨迹方程的求法常见的方法还要理一理。5.层次分明，梯度明显，难度略高于高考难度试题背景设计力求公平，贴近学生的实际，在熟悉的情景中考查能力；并且具有层次性，富有明显的梯度，以使学生在公平的背景下有机会展示自己的真实水平，“二模”试卷整体难度略高于高考难度，均具有较高的信度、效度和有效的区分度，达到了“考基础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标，稍有不足试卷难度偏难（文科难度系数0.48，理科难度系数0.58）例7、某连锁集团有大中小型商场若干家，且集团规定：任何一家加盟商场均从小型商场做起；开业第一年后每年均对中小型商场进行经营状况评估，经营好的小型商场（年利润不少于万元）直接扩建为中型商场。经营好的中型商场（年利润不少于万元）则按的小型商场中型商场4 2 81 5 3 58 6 0 1 2 68 6 0 7 28 5 97 4 2 8 1 比例随机选取扩建为大型商场，否则不再有扩建机会。2016年集团按经营好坏分别对中小型商场的年利润进行分层抽样得到茎叶图如图所示，若以商场经营状况的频率代替概率，各商场之间经营好坏与否相互独立.()求被抽
