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1、直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理 一、选择题一、选择题 1 （2018山西3 分）“ 算 经 十 书 ” 是 指 汉 唐 一 千 多 年 间 的 十 部 著 名 数 学 著 作 ，它 们 曾 经 是 隋 唐 时 期 国 子 监 算 学 科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不 属 于 我 国 古 代 数 学 著 作 的 是 （ ） A. 九 章 算 术 B. 几 何 原 本 C. 海 岛 算 经 D. 周 髀 算 经 【 答 案 】 B 【 考 点 】 数 学 文 化 【
2、 解 析 】 几 何 原 本 的 作 者 是 欧 几 里 得 2 （2018山东滨州3 分）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】直接根据勾股定理求解即可 【解答】解：在直角三角形中，勾为 3，股为 4， 弦为=5 故选：A 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等 于斜边长的平方 3. （20182018 湖北省孝感湖北省孝感 3 分） 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， AC=10， BD=24， 则菱形 ABCD 的周长为（ ） A52 B48 C40 D20 【分析】由勾股
3、定理即可求得 AB 的长，继而求得菱形 ABCD 的周长 【解答】解：菱形 ABCD 中，BD=24，AC=10， OB=12，OA=5， 在 RtABO 中，AB=13，菱形 ABCD 的周长=4AB=52， 故选：A 【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属 于中考常考题型 4. （2018山东青岛3 分）如图，三角形纸片 ABC，AB=AC，BAC=90，点 E 为 AB 中 点沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕现交于点 F已知 EF=，则 BC 的长是 （ ） A B C3 D 【分析】由折叠的性质可知B=EAF=45，所以可
4、求出AFB=90，再直角三角形的性质 可知 EF=AB，所以 AB=AC 的长可求，再利用勾股定理即可求出 BC 的长 【解答】解： 沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合， B=EAF=45， AFB=90， 点 E 为 AB 中点， EF=AB，EF=， AB=AC=3， BAC=90， BC=3， 故选：B 【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出 AFB=90是解题的关键 5. （2018四川自贡4 分）如图，若ABC 内接于半径为 R 的O，且A=60，连接 OB、 OC，则边 BC 的长为（ ） A B C D 【分析】延长 BO
5、交圆于 D，连接 CD，则BCD=90，D=A=60；又 BD=2R，根据锐角 三角函数的定义得 BC=R 【解答】解：延长 BO 交O 于 D，连接 CD， 则BCD=90，D=A=60， CBD=30， BD=2R， DC=R， BC=R， 故选：D 【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形 30角的性质、勾股定理，注意：作直 径构造直角三角形是解决本题的关键 6. （2018台湾分）如图 1 的矩形 ABCD 中，有一点 E 在 AD 上，今以 BE 为折线将 A 点往 右折， 如图 2 所示， 再作过 A 点且与 CD 垂直的直线， 交 CD 于 F 点， 如图 3 所示， 若 A
6、B=6， BC=13，BEA=60，则图 3 中 AF 的长度为何？（ ） A2 B4 C2 D4 【分析】作 AHBC 于 H则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3在 RtABH 中，解 直角三角形即可解决问题； 【解答】解：作 AHBC 于 H则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3 在 RtAHB 中，ABH=30， BH=ABcos30=9， CH=BCBH=139=4， AF=CH=4， 故选：B 【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 7. （201
7、8台湾分）如图，坐标平面上，A、B 两点分别为圆 P 与 x 轴、y 轴的交点，有 一直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直，C 点为 L 与 y 轴的交点若 A、B、C 的坐标分别为（a，0） ， （0，4） ， （0，5） ，其中 a0，则 a 的值为何？（ ） A2 B2 C8 D7 【分析】连接 AC，根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC，根据勾股定理求出 OA，得到答 案 【解答】解：连接 AC， 由题意得，BC=OB+OC=9， 直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直， 直线 L 是线段 AB 的垂直平分线， AC=BC=9， 在 RtAOC 中，AO=2， a0， a=2，
8、故选：A 【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是 解题的关键 8.（2018湖北黄冈3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则 CD= A.2 B.3 C.4 D.23 （第 5 题图） 【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 CE=AE=5，又知 AD=2，可得 DE=AE-AD=5-2=3，在 RtCDE 中，运用勾股定理可得直角边 CD 的长。 【解答】解：在 RtABC 中，ACB=90，CE 为 A
9、B 边上的中线， CE=AE=5， 又AD=2， DE=AE-AD=5-2=3， CD 为 AB 边上的高 CDE=90， CDE 为 Rt CD= DECE 22 = 35 22 =4 故选 C. 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。得出 DE 的长是解题的关 键。 9. （2018广西桂林3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，点 M 在 CD 的边上，且 DM=1， AEM与 ADM关于AM所在的直线对称， 将 ADM按顺时针方向绕点A旋转90得到 ABF， 连接 EF，则线段 EF 的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：连接
10、BM.证明AFEAMB 得 FE=MB，再运用勾股定理求出 BM 的长即可. 详解：连接 BM，如图， 由旋转的性质得：AM=AF. 四边形 ABCD 是正方形， AD=AB=BC=CD，BAD=C=90, AEM 与 ADM 关于 AM 所在的直线对称， DAM=EAM. DAM+BAM=FAE+EAM=90, BAM=EAF, AFEAMB FE=BM. 在 RtBCM 中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2, BM= FE=. 故选 C. 点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段 的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了正方形的性质 10
11、 （2018 四川省泸州市 3 分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国 古代数学的骄傲 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成 的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab=8，大正方形 的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A9 B6 C4 D3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，根据勾股定理以及题目给出的已知数 据即可求出小正方形的边长 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab， 每一个直角三角形的面积为：ab=8=4， 4ab+（ab） 2=25， （ab） 2=2516=9， ab=3，
12、 故选：D 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于 基础题型 二二. .填空题填空题 1.（2018湖北黄冈3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离 杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为_cm（杯壁厚度不计）. （第 13 题图） 【考点】平面展开-最短路径问题 【分析】将圆柱体侧面展开，过 B 作 BQEF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A，连接 AB 交 EH 于 P，连接 AP，则 AP
13、+PB 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出 AQ，BQ，根据勾股定 理求出 AB 即可 【解答】解：沿过 A 的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH，过 B 作 BQEF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A，连接 AB 交 EH 于 P，连接 AP，则 AP+PB 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， AE=AE，AP=AP， AP+PB=AP+PB=AB， BQ= 2 1 32cm=16cm，AQ=14cm-5cm+3cm=12cm， 在 RtAQB 中，由勾股定理得：AB= 1216 22 =20cm. 故答案为：20. 【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定
14、理 进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 2. （2018 天津 3 分） 如图， 在边长为 4 的等边中， ， 分别为，的中点， 于点，为的中点，连接，则的长为_ 【答案】 【解析】分析：连接 DE，根据题意可得 DEG 是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解 DG 的长. 详解：连接 DE， D、E 分别是 AB、BC 的中点， DEAC，DE=AC ABC 是等边三角形，且 BC=4 DEB=60,DE=2 EFAC，C=60,EC=2 FEC=30，EF= DEG=180-60-30=90 G 是 EF 的中点， EG=. 在 Rt DEG 中，DG= 故答案为：.
15、点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟 练运用性质是解题的关键. 3 （2018天津3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，的顶点， ，均 在格点上. （1）的大小为_（度） ； （2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针 旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度 的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如 何找到的（不要求证明）_ 【答案】 (1). ； (2). 见解析 【解析】分析： （1）利用勾股定理即可解决问题； （2）如图，取格点， ，连接交于点；取格点， ，连接交延长线于点；取格点， 连接交延长线于点，则点即为所求. 详解： （1）每个小正方形的边长为 1， AC=，BC=，AB=, ABC 是直角三角形，且C=90 故答案为 90； （2）如图，即为所求. 点睛：本题考查作图-应用与
