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1、大学数学思想方法与创意,唐烁、苏化明、潘杰、宁荣健,第一部分 大学数学思想方法,第一讲：函数思想 第二讲：方程思想 第三讲：分类思想 第四讲：数形结合思想 第五讲：构造思想 第六讲：类比思想,第七讲：反证法 第八讲：对称性原则 第九讲：RMI原则 第十讲：归纳与递推思想 第十一讲：逆向思维 第十二讲：迭代与逼近 第十三讲：发散思维 第十四讲：一般与特殊,第二部分 大 学 数 学 创 意,0.高等数学研究性、创造性例谈 1.变系数线性微分方程线性化的充要条件 1.1基础知识(1) 1.2背景知识(2) 1.3论文创作,2. 一类二阶变系数线性微分方程的积分因子解法 2.1基础知识 2.2背景知识
2、 2.3论文创作,3. 函数不等式的积分证法 3.1基础知识 3.2背景知识 3.3论文创作,4. Cauchy-Schwarz不等式的各种形式与推广 4.1基础知识 4.2背景知识 4.3论文创作,5. 两个重要极限的再认识及其应用 5.1基础知识 5.2背景知识 5.3论文创作,6. 中值等式中的“中间点”的渐近性 6.1基础知识 6.2背景知识 6.3论文创作,第二讲 方程思想,2.1 不定积分中的方程思想 我们知道，虽然不定积分是导数的逆运算，但是在求导运算和求积运算中，一般而言，不定积分要复杂的多，例如，我们给出某一个区间上的连续函数，我们可以毫无困难的去求出它的导数。反之，给定某一
3、个区间上的连续函数，我们未必能够求出它的原函数。这是由于一方面连续函数的原函数虽然存在，但未必是初等函数，另外一方面，即使原函数是初等函数我们也未必能够求出它的表达式。我们都知道求不定积分方法多、技巧强，需要我们不断的从中掌握好思想与方法，灵活的加以运用。 下面我通过例子来说明是如何用方程的思想来解不定积分的。,求不定积分,解答,对于 （ ） 解答,求不定积分 解答,求不定积分 解答,2.2 定积分中的方程思想,虽然牛顿莱布尼兹公式把定积分的计算归结为求被积函数的原函数在积分区间两个端的函数值的差，但有些被积函数的原函数不容易求，甚至有些被积函数的原函数不能用初等函数表示出来。对这些定积分的计
4、算，我们可试用换元积分法、分部积分法及定积分性质，将原来需要计算的定积分转化为一元一次方程，从而求出定积分,求 解答,求 解答,（,总 结,注：对于定积分 如果我们想使用方程思想来计算，可以尝试作换元.,求 解答,对于求一类含有未知积分的函数，我们可以通过变形（变量代换、求导运算、积分运算等）转化为代数方程或微分方程来处理.下面通过一些实例来说明,设 求 解答,注：事实上，这种形式的题目在积分学中经常出现，是一种常见的题型，我们再举一个含有二重积分的题目，就可以完全理解这类题型的实质,设闭区域 ， 为 上的连续函数，且 求 解答,设 在 上可导， ，且有反函 数 ， ，求 . 解答,求满足等式
5、 的可微函数 解答,2.3 多元微积分中的方程思想,以上几例都是将求未知函数归结于解微分方程，这是现代数学中的标准方法，这个方法在科学中的系统应用不在本书讨论之内，在这里我们强调的是方程（微分方程）思想在解题中的特殊应用，它们散见于各个章节，难以规范化，且往往被忽略. 下面举几个在多元微分、多元积分、级数理论方面的例子，起抛砖引玉的作用.,设 在 内具有二阶导数，且 满足等式 （1）验证 （2）若 ，求 的表达式. 解答,设函数 可微， 且满足， ， 求 解答,设 具有二阶连续导数，曲线积分 ， 其中 为平面上任一简单封闭曲线， 求 使 . 解答,设级数 的和函数 为 ，求 . 解答,2.4一
6、类函数方程中的方程思想,我们知道函数方程是一个经典的课题，早在18世纪L.Euler、Lagrange等著名数学家就利用函数方程来解决问题了.1769年DAlembert在讨论力的合成法则时导出了函数方程,1773年法国数学家G.Monge在研究曲面理论时又再一次的运用了函数方程，并且给出了关于函数方程的一般阐述.同一年Laplace又对另一类广泛应用的函数方程提供了解法.1821年后，Cauchy对一系列的函数方程如,等进行了深入的研究，并创造了一种求解函数方程的方法-Caucy法.20世纪初期以Schroder为首的波兰学派对函数方程进行了一些开创性的研究工作，20世纪40年代前后，苏联数
7、学家盖尔谢凡罗夫教授进一步发展了函数方程的某些理论. 在这里我们主要是对高等数学中所涉及的函数方程，利用方程或微分方程的思想来处理。,设 是定义在 R上的可微函数，满足 ， 求 . 解答,设 上可微且 ，并满足 求 . 解答,设 在 上连续，且满足方程 解答,设 满足方程 求 的极大值与极小值. 解答,通过这样代换技巧得到函数方程是解函数方程的方法之一，我们再来看下例,设 除 ，对全体实数都有定 义，并满足等式 求 . 解答,本节完,第十二讲 归纳与递推,12.1归纳 归纳是一种凝聚型的思维形式。归纳推理是从观察开始, 对各个特殊事物进行综合分析,从个别特殊的判断中提炼出对同类事物具有普遍性的
8、判断来归纳的方法，是一种对经验、实验观察结果进行去粗取精、去伪存真的综合处理方法.从数学的发展可以看出，许多新的概念、定理、法则的形成都经历过经验积累的过程，从大量的观察、计算，然后归纳出其共性和本质的东西。这在微积分学中几乎处处可见, 诸如极限、连续、导数、微分和积分等概念都是从运动着的客观世界中归纳、抽象出来的。,例1 设 证明 存在并求,分析：我们可以通过前几项的值，来观察 的规律，然后来进行证明. ，且 ，再看 ，且,归纳可能有数列单调下降有下界1.下面给与证明.,证明,例2 求 在 处的 阶导数. 解答,例3求级数 的和. 解答,12.2 递推,谈到递推，我们首先想到的是递推数列，但
9、是递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法，在高等数学中的极限运算、导数运算、积分运算以及级数理论的建立、公式推导等方面都离不开递推思想.,12.2.1 极限运算中的递推,通过已知的递推关系求极限是高等数学中最为常见的题型，我们在此举两个具有代表性的例子来说明.,例1 设 求 . 解答,例2 如 ，证明 . 解答,对于函数而言，也有类似的递推，我们来举一个例子来看看是如何处理的.,例3 已知有界且连续的函数 满足关 系式 求 . 解答,注 如果我们直接用 的话，所得到的 只是一个解，但没有办法解决解的唯一性 问题，上面的解法，在求出了解的同时也 验证了此解是唯一的.,例4 设
10、函数 在 连续，对任意正数 有 ，且 ，求 解答,12.2.2 求导运算中的递推,在求函数的n阶导数时，除了利用定义和常用的n阶导数公式、级数展开以外，另外一种方法就是利用n阶导数的运算法则，尝试建立递推公式来解决.我们以例子来进行说明.,例1 设 ，求 . 解答,例2 设 ，求 . 解答,12.2.3积分运算中的递推,在积分运算中，如果计算与有关的积 分，往往通过建立递推关系来解决.我们来看 下面的例子.,例1 求 . 解答,例2 求 . 解答,例3 设 为正整数，计算 . 解答,例4 计算积分 . 解答,例5 计算积分 （ 为自然数） 解答,本节完,第一讲 构造思想,构造思想方法是一种基本
11、而又极其重要的数学思想方法，同时也是一古老而又年轻的思想方法，历史上许多著名的数学家，如：欧几里得（Euclid,约为公元前330 年-前275）、欧拉（Euler,1707-1783）、拉格朗日（Lagrange,1736-1813）、康托（Contor,1845-1918）等人，都用构造思想方法解决过数学中的难题，促进了数学的发展，并且至今它仍然在数学教学、数学解题及科学研究中起着重要作用。 大家可以回忆一下，在高等数学中，构造的思想比比皆是，如构造函数、构造图形、构造反例、构造结论等等。下面我们列举若干例子，来看看高等数学中的构造思想。,1.1 构造函数,1.1.1 在方程根的讨论中，构
12、造函数 我们都知道方程的根，就是曲线与轴的交点，也是函数的零点，为此，通过方程来构造相应的函数，去解决方程根的问题是很自然的事情,例1 证明方程 至少 有一个正根，它不超过 . 解答,例2 证明代数方程 至少有一个实根. 解答,例3 讨论曲线 与 的 交点个数. 解答,1.1.2 在证明中值等式（或中值不等式）中，构造函数,对于证明中值等式（或不等式），通过构造辅助函数来证明是最为大家熟悉的方法，但是构造什么样的函数来达到我们的目的，是至关重要的，这就需要大家做一定量的练习，从中领悟真谛。,例1 设函数 在 上连续，证明存在 ，使得 解答,例2 设二元函数 有连续偏导数， 且 ，证明：在单位圆上至少存 在两点 和 满足 解答,1.1.3 在证明不等式（或等式）中，构造函数,在高等数学中，证明不等式最为常用的方法有：单调性、最值、泰勒中值定理、凹凸性等，因此构造适当的函数，利用函数单调性或最值或泰勒中值定理或凹凸性等，是证明不等式的有效途径！,例1 已知 二阶可导且 ， 为实数， （1）证明 ， 为任意实数. （2）若 ，证明 ， 为实数. 解答,1.3构造反例,例1 若函数 在区间 无界，则在区间 必为无穷大量。 上述结论是否正确？说明理由. 解答,1.4 构造结论,例1 证明：定义在对称区间上的函数一定可 以表示为一个奇函数与一个偶函数之和. 解答,
