《分析力学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分析力学（75页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,分析力学,教材：周衍柏理论力学(第五章),2,导言,经典力学问题基本上是用牛顿运动定律求解,3,对于n个质点组成的力学体系，需要解3n个微分 方程，但是当n很大时往往很难求解。 分析力学就是为解决这种困难而产生的，它 用数学分析的方法解决力学问题。,即两方程+一个原理,4,分析力学是拉格朗日等人于十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法 完全是数学分析，称之为分析力学。建立分析力学的 目的是为了用数学方法解决复杂的力学问题，后来的 研究发现，分析力学的体系和方法不局限于力学，对 物理学的其他领域也非常有用。其原因是将物理规律 抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背
2、后更普遍 的性质，掌握这些对今后的学习很重要。 这一章的重点是拉格朗日方程，哈密顿正则方程 和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概 念在量子力学中非常重要。,5,1. 约束与广义坐标,一、约束的概念和分类 1、力学体系：有相互作用的一群质点的集合。 2、约束：制约体系中质点自由运动的条件。 3、不可解约束：质点始终不能脱离的约束。例 如，在铁轨上运行的列车，始终不能脱离铁轨； 绕轨道运动的卫星始终不能脱离其轨道。这里铁 轨和轨道都是约束。这类约束可用方程来表示。,6,注意这里的表示：约束是对整个力学体系的 约束，所以,4、可解约束：质点可以在某些方向脱离约束。 例如，在一个圆形平面上任
3、一滚动的小球，可 以出现在不超过半径的任何地方。,7,一般地：,5、几何约束（完整约束）：仅对质点位置进行约束 约束方程：,8,6、运动约束（微分约束）：对质点的位置和速 度同时的约束。例如火车在弯道上行驶。 约束方程：,上述方程若能积分，为完整约束，否则为不完 整约束 7、完整系：只受完整约束的力学体系。本章只 讨论这种体系。,9,二、广义坐标 设体系中有n个质点，各质点在空间位置的一个分布 称为体系的一个位形。要确定一个位形，各质点的位置 必须确定。一个质点有3个坐标，则一个位形需要3n个 坐标，但存在约束，3n个坐标不完全独立。独立坐标数,10,例1、在球面上运动的质点的独立坐标数 解：
4、约束方程为 所以,11,例2、在圆周上运动的质点的独立坐标数 解：约束方程为 所以,12,例3、两质点由长度为L的刚性杆相连，求独立坐标数。 解：约束方程为 所以,13,上述的独立坐标可以是通常的坐标x,y,z， 也可以是角度 等，还可以是其他的物理量。 这样表示质点位置的变量称为广义坐标。,对于具体问题，它们有具体的不同的形式。每个质点的直角坐标都可以用广义坐标来表示。,14,例4、用广义坐标来表示例1中的质点位置 解：,15,这里的 就是广义坐标。,例5、用广义坐标表示例2中的质点,16,x,y,这里的 就是广义坐标。,17,例6、确定例3中的广义坐标,18,这里的 就是广义坐标。,19,
5、2. 虚功原理,一、实位移与虚位移 1. 实位移：运动学里讲的位移。在 时间内， 质点由于实际运动而发生的位移 。发生实 位移时质点一定沿自己的轨道运动。,2. 虚位移：假想质点可能发生的位移，它不受运动轨道的约束。,20,由于是假想的，故发生虚位移时不需 要时间，可以说某时刻的虚位移 。 即虚位移对应的时间间隔 。,二、理想约束 1. 虚功：质点所受力与虚位移的点乘积。虚元功 。,21,2. 约束反力：质点因受约束而受到的力。例如 在光滑平面上运动的质点，受到平面的支持力 称为约束反力 （被动力）。 3. 理想约束：体系受所有约束反力 的虚功 之和 。光滑的面、线，刚性的 杆，不可伸长的绳子
6、等都是理想约束。,22,三、虚功原理：,对于理想约束,23,所以，对于理想约束，如果,系统则处于平衡状态。,虚功原理：受理想约束的力学体系平衡的充要 条件是，系统的各个主动力在任意虚位移中所 做的元功之和等于零。,24,分量式表示为：,因为 不完全独立，所以不能由虚功 原理得出诸分力全为零的结论。为此，使用广 义坐标。,25,返回,26,因此，,27,广义力,返回,28,例. P.206,29,解：只要定出A、B的位置，体系的位形即 确定。为平面问题，定出A、B的位置需4个 坐标，但有两个约束 。所 以有两个广义坐标，选为 。,三个主动力是： 由虚功原理得：,30,（与广义坐标联系起来）,31
7、,代入虚功原理方程，并整理得,两个角度定出，位形即确定,32,解,代入,33,四、拉格朗日未定乘数（子）与约束力,虚功原理：,因为 不完全独立，所以不能由虚功 原理得出诸分力全为零的结论。,假定有k个约束条件：,34,上式代表k个方程，每一个方程都乘一因子 并相加，得,35,两式相加，得,36,选择 总能使各虚位移前面的系数为零， 即,3n+k个方程， 3n+k个未知数即可求出,37,约束反力为：,这种确定位形的方法，叫拉格朗日乘子法。,38,3. 拉格朗日方程,一、基本形式的拉格朗日方程,牛顿运动定律:,惯性力,39,将 看成一种力惯性力，质点在 三个力的作用下而平衡。将动力学问题 转化为静
8、力学问题求解。达朗伯原 理 对于理想约束，虚功原理为：,40,达朗伯拉格朗日方程,41,42,43,质点运动时，广义坐标随时间变化，即：,所以,44,例如：,表明：,45,但是,两“点”同时去掉仍相等。同理可以证明：,46,47,48,基本形式的拉格朗日方程,对于自由运动的质点：,49,所以定义 为广义动量。s个广义 动量也是相互独立的。它们与s个广义坐标 张成的2s维空间称为相空间。所以相空间内 一个点的坐标为,二、保守力系的拉格朗日方程,50,体系在保守力的作用下，可引入势能,力与势能的关系是,假定与速度无关,51,52,令L=T-V为拉格朗日函数,保守力系的拉格朗日方程,53,三、循环积
9、分（略）,四、能量积分（略）,五、拉格朗日方程的应用,例：在球坐标下，求质点的运动方程 解：质点的球坐标为 ，在dt时间内， 质点在三个方向的位移分量为（见p219图5.3.3）,速度分量为,54,求广义力,55,56,利用拉格朗日方程的解题步骤： (1)确定体系的自由度； (2)选取广义坐标； (3)写出L=T-V (4)将L代入方程并求解。,57,例：p220,58,解：4个运动物体作直线运动，需要4个坐标确定其位置。但有两个约束条件，仅有两个是独立的，选 为广义坐标。,速度,加速度,m1,m2,m3,59,60,同理可求出，其余两个方程，联立求出最后 结果。,4. 小振动（略）,61,例
10、：p.273, 5.9题 解：为保守力系,以xoy平面为重力势能的零势面，则,62,63,例：p.273, 5.12题 解：系统的自由度为2（为什么？）,选 为广义坐标,64,求广义力,65,66,67,5. 哈密顿正则方程,一、 勒让德变换,由一组独立变量，变为另一组独立变量的变换。,看出拉氏方程为二阶微分方程,68,所以，拉氏方程的另一种形式,利用方程 可以把广义速度用广 义动量来表示,69,例如自由运动的质点,70,二、 正则方程,上述方程使用时并不方便，下面找一种形式上对称的方程 。定义哈密顿函数：,两边同时微分,71,72,比较dH两式，得,73,哈密顿正则方程。因为形式简单而对称，故称“正则” 。对于稳定约束：,例：p.235 电子的运动,74,解： 在球坐标系下电子的动能和势能为,75,其余五个量略,
