《线性相关与回归(简单线性相关与回归、多重线性回归、spearman等级相关)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性相关与回归(简单线性相关与回归、多重线性回归、spearman等级相关)（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、SPSS软件在医学科研中的应用,何平平,北大医学部流行病与卫生统计学系 Tel：82801619,线性相关与回归,（一）直线回归（linear regression）,1.定义：用直线方程表达X（自变量，independent variable；解释变量，explanatory variable；预测变量，predictor variable ）和Y （因变量，dependent variable；响应变量，response variable；结局变量，outcome variable ）之间的数量关系。,一、简单线性相关与回归,：是Y（实测值）的预测值（predicted value），是直
2、线上点的纵坐标。对于每一个X值，根据直线回归方程都可以计算出相应的Y预测值。,（具体计算过程参见卫生统计学第4版）。,2.b和a的意义,a：是回归直线在Y轴上的截距，即X0时Y的预测值。 b：是回归直线的斜率，又称为回归系数。 表示当X改变一个单位时，Y的预测值平均改变|b|个单位。,3.b和a的估计,最小二乘方法（the method of least squares）:各实测点到直线的纵向距离的平方和最小。,4.b的假设检验： b为样本回归系数，由于抽样误差，实际工作中b一般都不为0。要判断直线回归方程是否成立，需要检验总体回归系数是否为0。,只有当0时，才能认为直线回归方程成立（具有统计
3、学意义）。,H0：=0 H1：0,5.直线回归方程的置信区间估计,(1)总体回归系数的95置信区间估计,(2) Y的均数的95置信区间估计 当XX0时，以95的概率估计Y的均数的置信区间为,(3)个体Y值的95容许区间估计 当XX0时，以95的概率估计个体Y值的波动范围为,1.定义 描述具有直线关系的两个变量之间的相互关系。,（二）直线相关（linear correlation）,r：相关系数，correlation coefficient,用来衡量有直线关系的两个变量之间相关的密切程度和方向。-1r1 r0，正相关；r=1为完全正相关 r 0，负相关；r=-1为完全负相关 |r|越大，两变量
4、相关越密切（前提：r有统计学意义）,2.相关类型,正相关：0r1,负相关-1r0,零相关 r =0,2.相关类型,r为样本相关系数，由于抽样误差，实际工作中r一般都不为0。要判断两变量之间是否存在相关性，需要检验总体相关系数是否为0。,只有当0时，才能根据|r|的大小判断相关的密切程度。,3.r的假设检验,H0：=0 H1： 0,4.相关与回归的区别和联系,（1）相关与回归的意义不同 相关表达两个变量之间相互关系的密切程度和方向。回归表达两个变量之间的数量关系，已知X值可以预测Y值。从散点图上，散点围绕回归直线的分布越密集，则两变量相关系数越大；回归直线的斜率越大，则回归系数越大。 （2）r与
5、b的符号一致 同正同负。,（3）r与b的假设检验等价,（4） 可以用回归解释相关,r2称为决定系数（coefficient of determination）, 其越接近于1，回归直线拟和的效果越好。,4.相关与回归的区别和联系,例1 为研究中年女性体重指数和收缩压的关系，随机测量了16名40岁以上的女性的体重指数和收缩压（见数据文件p237.sav）。 变量说明：X:体重指数；Y:收缩压（mmHg）。,1.绘制散点图,散点图显示：收缩压与体重指数之间有线性相关趋势，因此可以进一步做直线回归与相关,例2：由于改革开放政策，深圳特区中外来人口大幅度增加，为了考察特区中外来人口对本地经济发展的贡献
6、，深圳特区统计局收集了所属的宝安县在1987年末18个镇的人口与工农业总产值数据（见数据文件reg.sav）。此处把工农业总产值当作因变量（W），而把外地及本地人口数当作两个自变量（Z1，Z2）。,二、多重线性回归分析,（有关统计方法的原理及计算参见孙尚拱，医学多变量统计与统计软件，北京医科大学出版社，2000）,数据文件reg.sav,1.如何估计自变量与因变量之间的相互关系？（估计回归方程） 2.哪些自变量对因变量有影响？（影响因素分析） 3.哪一个自变量对因变量的影响更重要？（自变量的相对重要性分析） 4.如何用自变量预测因变量？（预测分析）,（一）多重回归分析的任务,（二）多重回归分析
7、的适用条件,1.自变量与因变量之间存在线性关系 2.残差的正态性 3.残差的等方差性 4.剔除强影响点（突出点，outliers） 5.自变量之间不应存在共线性 6.独立性,关于独立性： 所有的观测值是相互独立的。如果受试对象仅被随机观测一次，那么一般都会满足独立性的假定。但是出现下列三种情况时，观测值不是相互独立的：时间序列、重复测量等情况。 SPSS软件在“Linear Regression：Statistics”对话框中，提供了Durbin-Watson统计量d，以检验自相关系数是否为0。当d值接近于2，则残差之间是不相关的。,1.如何估计自变量与因变量之间的相互关系？（估计回归方程）,
8、其中y为实测值， 为预测值（predicted value）,估计模型中系数的方法：最小二乘方法（Least Square，LS），即残差平方和最小。,b1， b2 bm称为偏回归系数（partial regression coefficient） ：当固定其他变量时，xm每增加一个单位，y的增加值都是bm。,（一）多重回归分析的任务,模型拟和的优良性指标,R：复相关系数，反映了Y与M个自变量的总体相关系数； R2：决定系数（R Square） R2c：调整决定系数（Adjusted R square ），是对决定系数的修正，是更客观的指标。,这些指标越接近于1，说明回归模型拟合越好。 除了上
9、述指标，还有残差标准误s，残差标准差越小，说明回归模型拟合越好。,2.哪些自变量对因变量有影响？（影响因素分析）,对回归模型的统计检验,当P0.05,则认为此回归模型有显著性。,对自变量的统计检验,当P0.05,则认为此自变量对因变量有影响。,自变量的筛选,实际应用中，通常从专业知识出发，建立一个简约（parsimonious）的回归模型，即用尽可能少的自变量拟合模型。 常用方法： 1.前进法（Forward）：逐步增加变量到模型中（由少到多），对已经进入的变量不再剔除；SPSS中默认的选入自变量的检验水准为0.05。 2.后退法（Backward）：从模型中逐步剔除变量（由多到少），对已经剔
10、除的变量不再进入；SPSS中默认的剔除自变量的检验水准为0.10。 3.逐步法（Stepwise）：结合了前进法和后退法，变量边进入边剔除。,3.哪一个自变量对因变量的影响更重要？（自变量的相对重要性分析）,当自变量的量纲相同时，衡量自变量相对重要性的指标： 偏回归系数；若偏回归系数的绝对值越大，则相应自变量对因变量的影响就越大。,当自变量的量纲不同时，衡量自变量相对重要性的指标： 标准化偏回归系数（Standardized regression coefficient）、偏相关系数（Partial Correlation）和部分相关系数（Part Correlation）。上述指标的绝对值越
11、大，则相应自变量对因变量的影响就越大。,标准化偏回归系数：对自变量、因变量作标准化处理后计算的回归系数。 偏相关系数：因变量与自变量均扣除其他自变量影响之后，二者之间的相关系数。与简单相关系数（Pearson相关系数）不同；例如：考察因变量Y与自变量X1 、X2的多元回归分析，Y与X1的偏相关系数为扣除X2影响后的Y与X1的相关性。 Y与X1的简单相关系数为忽略X2影响后的Y与X1的相关性。 部分相关系数：自变量扣除其他自变量影响之后，因变量与自变量之间的相关系数。与偏相关系数不同，部分相关系数中因变量未扣除其他自变量的影响。,4.如何用自变量预测因变量？（预测分析）,当自变量取某个数值时，y
12、的预测值为,Y的均数的95置信区间,个体Y值的95容许区间 预测分析时，（x10，x20 xm0）应该在样本的自变量取值范围内。,1.自变量与因变量之间存在线性关系,通过绘制y与每个自变量的偏相关散点图，可以判断y与自变量之间是否存在线性关系。,2.残差的正态性 通过绘制标准化残差的直方图以及正态概率图（P-P图），可以判断y是否服从正态分布。此条件可以放宽，只要不是严重偏离正态即可。,3.残差的等方差性,通过绘制标准化残差与预测值的散点图，若标准化残差在零水平线上下波动，无明显的规律性，则可以判断y满足等方差的假定。,（二）多重回归分析的适用条件,通过标准化残差（Standardized R
13、esiduals）、学生氏残差（Studentlized Residuals）来判断强影响点 。当指标的绝对值大于3时，可以认为样本存在强影响点。 删除强影响点应该慎重，需要结合专业知识。以下两种情况可以考虑删除强影响点：1.强影响点是由于数据记录错误造成的；2.强影响点来自不同的总体。,4.剔除强影响点（Influential cases；或称为突出点，outliers）,5.自变量之间不应存在共线性（Collinear）,当一个（或几个）自变量可以由其他自变量线性表示时，称该自变量与其他自变量间存在共线性关系。常见于：1.一个变量是由其他变量派生出来的，如：BMI由身高和体重计算得出 ；2
14、.一个变量与其他变量存在很强的相关性。 当自变量之间存在共线性时，会使回归系数的估计不确定、预测值的精度降低以及对y有影响的重要自变量不能选入模型 。,共线性诊断方法： 1.TOL（容许度，Tolerance）法：TOL越接近零，共线性越大。 2.VIF（方差膨胀因子，Variance Inflation Factor，VIF ）法：VIF越大，共线性越大。 3.特征根（Eigenvalue）法：如果自变量相关矩阵的特征根近似于零，则自变量之间存在共线性。 4.CI（条件指数，Condition Index）法：CI越大，共线性越大。 当自变量之间存在共线性时，可以剔除某个自变量或者采用岭回归
15、分析（Ridge Regression Analysis）。,1. 数据预处理：根据经济学专业知识，需要先对Z1、Z2、W作对数变换，分别记为X1、X2、Y。,（三）多重线性回归：实例分析,2.多重回归分析,Statistics对话框,Plots对话框,Save对话框,从简单相关系数可见：Y与X1、X2存在较强相关性，X1、X2存在中等相关性。,3.输出结果解释,此模型的复相关系数为0.857，调整决定系数为0.699，反映此模型拟和较好；模型经统计学检验，F=20.738，P0.05，说明此多元回归模型有显著性。,经统计学检验，X1与X2均有显著性，因此回归模型为 ；根据偏回归系数的大小，可
16、以认为X2对Y的影响比X1大。,共线性诊断：两个自变量之间不存在共线性。,因为标准化残差、学生化残差的绝对值小于3，所以从统计学上认为样本不存在强影响点。,直方图及P-P图,从残差直方图及P-P图可见：残差正态性不太好，可能与样本量太小有关。,通过绘制y与X1的偏相关散点图，可以判断y与X1之间存在线性关系。,通过绘制y与X2的偏相关散点图，可以判断y与X1之间存在线性关系。,检查残差的等方差性：,由图可见：残差满足等方差性。,重要提示： 经典的多元线性回归：自变量和因变量均为连续变量。多元线性回归分析允许自变量为分类变量，但当自变量为多分类变量时，需要以“哑变量（dummy variables）”的方式引入模型。 如：某个自变量为“文化程度”：1=文盲，2=小学，3=中学，4=大学及以上。若以“大学及以上”为参照，关心文盲、小学、中学分别与大学及以上的比较，则进行回归分析时，此自变量须用3个哑变量表达：x1: 1=文盲，0=其他；x2: 1=小学，0=其他；x3: 1=中学，0=其他。,三
