数学概念及其教学,,一、数学中的定义,1.数学概念 它的产生，一般说来有两种情形：一种是直接从对客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到的；另一种是在已有的数学概念基础上，经过多层次的抽象概括而得到的 内涵和外延是构成概念的两个重要方面数学概念的内涵反映数学对象的本质属性，外延是数学概念所有对象的总和例如，“对边平行”、“对角相等”、“同旁内角互补”、“对角线互相平分”都是平行四边形的内涵；而“所有的平行四边形”则是“平行四边形”的外延又如，“奇数”这个概念，它的内涵是“整数”“被2除余1”，而外延是｛x︱x=2n-1, n∈Z｝一般地，当集合｛x︱p(x)｝表示一个概念的外延时，那么p(x)就表示这个概念的内涵2、定义,数学概念是用定义叙述的给数学概念下定义就是揭示它的空间形式或数量关系的本质属性例如：（1）等边三角形是三边相等的三角形 （2）函数y=㏒ax (a0,a≠1)叫做x的对数函数 任何定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分构成对（1）（2）进行解释 一般常用的定义联项有“是”，“就是”，“指的是”，“叫做”，“称为”等 表述数学定义，可用不同的方式如果用Ds表示定义项，Dp表示被定义项，那么定义可表示为“Ds就是Dp”， “Ds叫做Dp” “所谓Dp指的是Ds”，“当且仅当有Ds时，才有Dp”，等等。
3.定义的方法,（1）利用集合的某一性质下定义（实际上是属加种差的定义法）例如：设A表示平行四边形的集合，P表示“有直角”这一性质，此时Ｂ表示矩形的集合，并且矩形的定义可以叙述为“矩形是含有直角的平行四边形”这就是说，在集合A中含有一些具有某种性质P的元素，还含有一些不具有这种性质的元素，那么把集合A划分为两个子集B和 B，它们满足如下条件：,在数学中通常采用下列方法给概念下定义,,且,，,,外延较大的A概念叫做属 概念，外延较小的B概念 叫做种概念把被定义的 属概念加上被定义概念的 发生过程（称为种差）2）发生定义法指出所要定义的对象的形成过程例如，平面内动点与一个定点的距离为定长时，动点所形成的轨迹是圆 （3）外延定义通过列举对象的全部对象下定义，例如，有理数和无理数统称实数 （4）约定式定义法 （5）递归定义法和（6）公理化定义（皮亚诺定义自然数）,B,,B,A,4.定义的要求,（1）定义必须相称，即要求定义项概念的外延与被定义项概念的外延应当相称例如把无理数定义为“有理数开不尽的方根”，这里定义项的外延小于被定义项的外延，犯了定义过窄的逻辑错误如果将无理数定义为“无限小数”，则定义项的外延大于被定义项的外延，犯了定义过宽的逻辑错误。
2）定义不能循环，即不能借助甲概念来定义乙概念，而乙概念又借助甲概念来定义例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直这就犯了循环定义的逻辑错误 （3）定义必须简明，即定义中不应有非本质属性或多余的词语例如，把平行四边形定义为“两组对边分别平行的平面四边形”，这里“平面”一词是多余的4）定义一般不用否定形式，这是因为否定形式的定义，通常不能揭示出被定义概念的内涵例如，把无理数定义为：“不是无理数的数叫做有理数”，这样无理数的本质属性不能揭示出来，也无法确定它的外延，从而达不到下定义的目的5.概念划分和分类,1.划分的基本方法 （1）二分法即B和B，（2）一般的划分方法，把属概念分为几个具有全异关系的种概念（分类） 2.划分的基本要求 （1）划分是相称的，即要求划分所得的、全异的种概念的外延的总和等于被划分概念的外延2）每一次划分要用统一确定的标准3）划分应把属概念分为最邻近的种概念，即划分不能越级例如把实数分为整数、分数、无理数就越级了二、数学概念的教学,1.了解概念的体系 学生“获得的知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识，一连串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命”。
因此，数学概念的教学，要弄清楚学习这个概念需要怎样的基础，分析这个概念以后有何用处，它的地位和作用如何例如，“绝对值”是贯穿整个中学数学的重要概念2.注意概念的引入 （1）提供现实模型 （2）从数学内在需要引入概念例如，x2+1=0没有解，引入新数i,i满足i2=-1. （3）用类比的方法引入或区别概念3.剖析概念的本质（包括了解概念的内涵和外延） 以三角函数的概念为例，6个基本三角函数的定义，以正弦函数为例，比值、相似（位置无关），角a决定，再从自变量、函数以及对应法则，理解深刻 4.掌握概念的符号 5.重视概念的巩固(发挥数学概念在运算、推理、证明中的作用) 首先应在引入、形成概念后，及时进行复述，以加深对概念的印象其次应重视在发展中巩固第三应通过概念的应用来巩固例如：在正方体上任意选择4个顶点， 它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）. ①矩形；② 不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.,,解：考查正方体ABCD—A1B1C1D1， ①显然正确；②显然不正确；对于③，如四面体A1—ABD即是一个有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体，因此③正确；对于④，如A1C1BD即是一个每个面都是等边三角形的四面体，因此④正确；对于⑤，如D1ABD即是一个每个面都是直角三角形的四面体，综上所述，所有正确结论的编号是①③④⑤. 评注：这是一道以判断命题真假来考查空间想象能力的填空题。
为了判断命题的真假，只要能找出一种特殊情况，也即“有可能是”，结论即是正确；反之，对一般情况都不成立，也就对“有可能是”进行了否定此题很好地体现了特殊与一般的数学思想方法顶岗实习学生汇报曾经教授过的概念教学片断 中学指导教师点评和指导 大学教学法教师综合和布置作业,第二节 数学定理及其教学,数学中的定理是数学命题我们研究定理及其教学，就从命题谈起 一、命题与命题演算 数学中表示判断的句子称为数学命题，命题有真有假，数学中的定义、定理、公式等都是真命题平行四边形的对角线相等”、“相等的两个角是对顶角”都是假命题 命题可以分为简单命题和复合命题简单命题是由简单判断构成的例如“⊿ABC是等腰三角形”、“lg2不是有理数”都是简单命题有两个或两个以上简单命题，由逻辑联词,,“或”、“且”、“如果…那么”、“若…则”等联接而成的命题就是复合命题例如“如果⊿=b2-4ac0,那么方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根”；“若在四边形ABCD中，AB=CD，且AD=BC，则ABCD为平行四边形”，都是复合命题 用一个或多于一个命题构成一个新命题称为命题演算命题演算的结果是真是假，完全由原来的已知命题的真假来判断。
由已知命题组成新命题时所用的词语称为真值联结词，简称联结词 在命题演算中，命题a为真，通常用1表示，记作a=1；命题a为假，通常用0表示，记作a=0命题演算需用到逻辑联结词，这里作简要介绍 1.否定（非）否定的真值表（右）,2.析取（或）,3.合取（与）,4.蕴涵,5.等价的真值表,6.命题四种形式的真值表,,互逆 互否 等价 等价 互否 互逆,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,,,,,,,,,证明 的逆否命题是,二、常用的证明方法,数学证明的方法就是演绎推理的方法所谓推理就是从一个或几个已知判断出发，推出一个新判断的思维形式经常使用的演绎证明有如下一些基本方法（其中p,q,r等都是判断） 1.假言推理 若p真，且若p则q，则q真常用逻辑符号表示是p，P q q 例如p:直线x+2y+3=0与2x-y-1=0，,,,,P q：如果两直线的斜率之积为-1，那么这两直线垂直q：这两条直线垂直 2.传递推理 若p则q，且若q则r，则若p则r用逻辑符号表示是(p q) ∧(q r) P r 例如，P：如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形的另两个角对应相等； q：那么两个三角形的所有三个角都对应相等； r:两个三角形相似， 于是p q:如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形对应相等，那么这两个三角形的所有三角,,,,,,,,都对应相等； q r:如果两个三角形于所有三个角对应相等，那么这两个三角形相似； P r:如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
3.演绎推理 若由假设p及真判断q1，q2，…，qn的集合，可推出r,则由q1，q2，…，qn可推出p r用逻辑符号表示是(p,q1,q2,…,qn) r (q1，q2，…，qn) (p r),,,,,,,,例如，p:两直角三角形的两条直角边对应相等，q1:两直角三角形的直角必相等，r:这两个直角三角形全等，(p,q1) r就是两个三角形两对应边及其夹角对应相等，则两三角形全等，于是便得q1 (p r)即两个直角三角形两条直角边对应相等，则两直角三角形全等 4.列举法 若p1则q,若p2则q,…,若pn则q,则若(p1∨p2∨…∨pn)则q用逻辑符号表示是( p1 q)∧( p2 q ) ∧ … ∧ (pn q ) (p1∨p2∨…∨pn) q,,,,,,,,,,这样的例子是容易举出的，例如要证明“一个圆周角的度数，等于它所对弧的度数的一半”，只要分三种不同情况来证明：即当圆心在圆周角内，在圆周角外，在圆周角的一边上，于是命题成立 5.数学归纳法 若对自然数1有性质p,且对每个自然数k,若k有性质p,即可推出k+1有性质p,则对每个自然数均有性质p.有逻辑符号表示是： P(1); ∧任意k∈N，p(k) p(k+1) P(n),任意n ∈N.,,,,以上五种证法都是直接演绎证明方法，虽然还有其他直接演绎证法，但在中学阶段这是主要的直接推理方法。
必须说明的是，对某一问题的证明，常常结合起来使用 6.反例法 假设对任意x∈S,有性质p;找到a∈S没有性质p则并非所有S的所有元素都有性质p;即假设错误用逻辑符号表示是： 假设：任意x∈Ｓ,ｐ(ｘ), 反例：a ∈Ｓ,且非p(a), 结论：任意x∈Ｓ,非p(x).,,例如：假设对任意n∈N，f(n)=n2+n+41是素数 反例：n=40,f(n)=402+40+41=412不是素数，而是合数，所以，对n∈N， f(n)=n2+n+41是素数，命题假 7.反证法 为了证明若p则q，假设p，非q真，推出矛盾r,非r皆真，则若p则q用逻辑符号表示是: (p,非q) (r,非r) P q,,,,,例如，求证：如果两个实数的积为零，那么其中至少有一个数为零 证明：令a,b∈R，设ab=0 (p),若a≠0,且b ≠0 (q),则1/a≠0,于是有1/a(ab)=(1/a·a)·b=b, 1/a(ab)= 1/a·0=0,因此，b=0 (r),这和假设b≠0,(非r)矛盾由反证法原理知，如果ab=0,那么a=0或b=0.,三、数学定理的教学,定理是经过数学证明的真命题，它是中学数学知识的重要组成部分，定理教学应注意以下几个方面。
1.要使学生了解定理的由来 在教学中，一般不要先提出定理的具体内容，而尽量先让学生通过具体事物的观察、测量、计算等实践活动，来猜想定理的具体内容对某些比较抽象的定理，可以通过推理的方法来发现这样做有利于学生对定理的理解2.要使学生认识定理的结构 指导学生弄清定理的条件和结论，分析定理所涉及的有关概念、图形特征、符号意义，将定理的已知条件和求证确切而简练地表达出来，特别要指出定理的条件与结论的制约关系 3.要使学生掌握定理的证明 定理的证明是定理教学的重点，首先应让学生掌握证明的思路和方法为此，在教学中应加强分析。