数学归纳法原理与应用

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1、 2016年度宿州市中小学数学学科教育教学论文浅谈数学归纳法的原理及应用姓 名： 王磊峰单 位：砀山县豆集学区范套小学浅谈数学归纳法的原理及应用 摘 要： 数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种论证方法,也是数学证明中的一个强有力的工具，无论在初等数学还是高等数学中都有广泛的应用。本文讨论了数学归纳法的理论依据、应用功能以及应用数学归纳法应注意的问题等。关键词 ：数学归纳法；匹阿诺公理；应用；推理；命题；类型数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一，它在各个数学领域分支中都有极大的应用，因为使用面比较广，所以涉及的知识和技巧比较多，在本文中将介绍数学归纳法的产生、发展和确立并分别举例说

2、明数学归纳法在各个方面的应用。1 数学归纳法的产生、发展和确立1.1 数学归纳法的产生数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期，一般认为归纳推理可追溯公元六世纪的毕达哥拉斯时代。这一时代杰出的数学家毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题进行了探讨，利用经过剖分后的正方形的直观形象，他确信无疑地得出：，这里有明显的推理过程，但这种推理只是简单枚举而没有碰到矛盾事实的归纳结果，因此是不完全的归纳推理，或者说只是一种寻求结论的手段，它只是作为一种猜想或假说，而不是可靠的，尽管如此，他仍为数学归纳法的产生奠定了一定的基础。可靠的归纳推理是欧几里得对系数个数无穷的证明，虽然其中递推过程不甚明显，但基本思想却

3、是按递推归纳原理指导的。肯定地说，这一关于系数个数无穷的具体证明为后人对数学归纳法的认识提供了原形，促使人们加深了对数学归纳法的理解。16世纪，经过文艺复兴洗礼的欧洲学者越来越意识到数学的重要性。意大利数学家毛罗利科首先对全体自然数有关的命题的证明做了深入考察，他认为递归推理是指首先确定命题对于第一个自然数是真的，然后再去验证命题具有后继数也是真的。于是，根据递推特性，命题对于第一个自然数的后继数为真，则对于第二个自然数也为真；对于第二个自然数为真，则对于第三个自然数也为真。如此类推，直到将整个自然数穷举完毕。1575年毛罗利科在他所著的算术一书中明确的提出这一思想方法，他是现代数学归纳法表述

4、的模式，后来由于帕斯卡的工作而得到提炼和升华。1.2 数学归纳法的发展阶段数学归纳法有时也叫逐次归纳法或完全归纳法，1656年，英国数学家沃利斯在牛津出版了他的重要著作无穷算术，在此书中他介绍了归纳法的使用。1713年在雅各比伯努利的巨著猜度术介绍了详细的对沃利斯的归纳法的改进，并应用从到的论证来证明二项式定理，因此，雅各比伯努利应作为数学归纳法的另一发明者。1838年英国数学家德摩根在伦敦出版的小百科全书的引言中使用了术语“数学归纳法”，这是我们所能看到的最早一次使用。1.3 数学归纳法的成熟阶段1889年，意大利数学家匹阿诺发表算术原理新方法，把数学归纳法奠基在下述事实的基础上：在任一整数

5、之后接着便有一个，从而从整数1出发，通过有限多次这种步骤便能达到任意选定的整数。自然数理论的建立，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定，也是严格意义下的数学归纳法的进一步明确。数学归纳法的产生和发展的历史，一定程度上反映了数学产生和发展的历史，而且总是与人类文明的进程休戚相关，同时也显示出人们认识世界、改造世界的力量。2 数学归纳法的原理2.1 数学归纳法的基本形式用数学归纳法证明一个命题的步骤可分为两步：（1） 验证当取某一自然数（即对于此命题的“最小自然数”）时命题成立，说明命题在特殊情况下是正确的，其根据是自然数集的“最小数原理”即自然数的每一非空子集必有最小数。这步可称为归纳奠基，是论证的基

6、础，是命题得以成立的起点。（2） 假设当取某一自然数（）使结论正确的前提下，严格推导出当取的后继自然数使命题也成立，说明命题的正确性是可以传递的，从而具有普遍性。这步称为归纳递推，其根本构思是“找出在时的结果”。因此，归纳推理的基本构思在于使用归纳假设。完成这两个步骤以后，注意到证明步骤的完整与书写格式的规范，才可以下结论，该命题对于一切自然数（）都成立。2.2 数学归纳法的理论依据数学归纳法原理实际上是这样一个定理：设有一个与自然数有关的命题，如果满足：（1） 当 时，成立；（2） 假设时，成立。则时也成立；那么，命题对于的所有自然数都成立。 与自然数有关的命题一般有无穷多命题，组成，采用逐

7、个论证的方法是不可能完成的。数学归纳法的实质在于：将一个无法（或很难）穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题“”为真和“”为真，则“”为真，从而达到证明的目的。数学归纳法的依据来源于揭示自然数根本性质的皮阿诺公理：自然数是满足下述一组公理的集合1) 1是自然数；2) 对于N中的自然数，都可以在 N中找到一个确定的后继数；3) 对于任意自然数，1，即没有以1为后继数的自然数；4) 任意两个自然数和，若，则；5) N的任一子集若满足性质：（）1S，（）由S可推出S，则SN.“后继”关系是自然数的重要特征，即每一个自然数有且仅有一个“后继”，而除了1以外的每个自然数也必然是和只能是一个自然数的“后继”

8、，这应该是数学归纳法中第二步归纳推理的依据。可见，皮阿诺公理中的第五条正是数学归纳法的依据，因此，第五条公理也称做数学归纳原理。由数学归纳原理可导出数学归纳法原理：“对于某一个与自然数有关的命题，如果：（1）当取最小自然数时命题为真；（2）再假设为真的基础上，可以推出亦真，那么就能断言对所有自然数，命题都成立”。2数学归纳法的原理推广 数学归纳法具有多种形式，无论何种形式其核心都是必不可少的两个步骤，灵活把握这两个步骤，便能构造出形式多样的数学归纳法。1） 设是与整数有关的一列命题且满足一下条件：（）成立；（）成立成立；则对任一整数命题都成立。2） 设是与整数有关的一列命题且满足以下条件：（）

9、对某一整数，成立；（）成立成立，则，命题都成立。3） 设是与整数有关的一列命题且满足以下条件：（）对某一正整数，；（）成立，都成立；4） 设是正整数组有关的命题且满足下列条件：（）对某一组整数（），命题成立；（）成立，都成立，则对任一组整数，命题都成立。3 数学归纳法的应用3.1用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明整除问题时，首先要从证的式子中拼凑除假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除。 例 是否存在正整数，使得对任意自然数都能被整除？若存在，求出最大的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。证明：由，得，有此猜想，下面用数学归纳法证明：1） 当时，显然成立；2） 假

10、设时，都能被36整除，即能被36整除；当时，由于是2的倍数，故能被36整除，这就是说，当时，也能被36整除。由（1），（2）可知对一切正整数都有能被36整除，的最大值为36.3.2 用数学归纳法证明恒等式问题对于证恒等式的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑地方法，以减少计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明由目的性。例 是否存在常数使得等式对一切自然数成立？并证明结论。解：假设存在使得提设的等式成立，则当时，也成立，带入得： 解得于是对于时，下面等式成立：，令假设时，上式成立，即那么这就是说，当时等式也成立。综上所述，当时，题设的等式

11、对一切自然数都成立。3.3 用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其它的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等。例 已知函数，设数列满足，数列满足，用数学归纳法证明。证明：当时，；因为，所以，下面用数学归纳法证明不等式1） 当时，不等式成立；2） 假设时，不等式成立，即那么所以，当时，不等式也成立。根据（1）和（2）可知不等式对任意都成立。3.4 数学归纳法在证明数列题中的应用“数列类”命题的证明关键是先用递推式，后用归纳假设，即由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后利用数学

12、归纳法加以证明。例 已知在数列中，它的前项和满足，试计算的值，并猜想的表达式，然后给出你的证明。解：由已知有，当时，于是有，同理可得故猜想，下面用数学归纳法证明：1） 当时，猜想成立。2） 假设当时猜想成立，即则当时，即故当时，猜想也成立。由（1）和（2）可知，当时猜想成立。3.5 数学归纳法在几何中的应用利用数学归纳法证明几何问题关键在于分析与的差异，到的变化情况，然后借助图形的直观性建立与的递推关系。例 平面上由个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，求证这个园分平面为个部分。证明：1）当时，即一个圆把平面分成两部分，所以时命题成立。2)假设当时，命题也成立，即个圆分平面为个部分，则时

13、，第个圆与前个圆由2个交点，而2个交点把第个圆分成2段，每一段与原来的所在平面一分为二，故共增加了2个平面块，共有个部分。这就是说，当时，命题也成立。由（1）和（2）可知，这个圆把平面分成个部分。3.6数学归纳法在离散数学中的应用随着计算机科学的发展，离散数学在计算机研究中的作用越来越大，而离散数学中（特别是图论中）的很多命题的论证，数学归纳法不失为一种行之有效地方法。例 设T为任意的一棵二元完全树，为边数，为树叶树，试证明，这里。证明：1）当时，结点数为3，边数，故成立；2)假设时，结论成立，下面证明结论也成立：由于T时二元完全树，因此T中一定存在都是树叶的两兄弟结点、，设是、的父亲，在T中

14、删除、，得到,仍为二元树，这时结点成为树叶，树叶数，边数，由归纳假设知；所以，故；这就是说，当时结论也成立；由（1）和（2）可知命题成立。4 运用数学归纳法应注意的问题注意1 忽视了第一步，可用反例予以澄清：例 试证证明：假设时等式成立，即，则时有：即当时等式成立。评注：此题显然时错误的，当在归纳推导时并没有错，错在第一步即归纳基础不成立，即错在忽略了归纳奠基的必要性。所以，切莫以为归纳奠基这一步为真时必然的、肯定的，不去认真地验证这一步，或者根本没有这一步，就有可能出现错误。注意2 忽视了第二步，也可用反例予以澄清：例 试证：当为任意自然数时，都是素数。证明：经过计算，甚至当时，式子的值都是

15、素数，应此当为任意自然数时，一定都是素数。评注：当时，可见它不是素数。这说明，只有归纳奠基，归纳没有归纳推理的论证时错误的。归纳递推步骤也不能少。注意3 对归纳递推中的蕴含关系不清楚，必须讲清归纳递推的实质：有的学生由于对自然数的性质和逻辑上的蕴含关系不明白，怀疑“”时，命题到底成立不成立？是否应该证明？怎样证明？还有学生认为，已经假设当“”时结论正确，再去证明当“”时结论正确时多余的，干脆直接假设“”时结论正确就可以了。数学归纳法的实质在于将一个无法（或很难）穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题“为真”和“为真则为真”,从而达到证明目的。因此，在已经验证“为真”作为基础的前提下，“为真”时作为第二步的条件出现的，只是第二步的出发点，是不用证明的，而“时命题也成立”确需经推演予以证明，才保证命题的可递推性。这步的关键时利用自然数的“后继”特征和逻辑上的蕴含关系揭示“命题成立”这结论。注意 4不会利用归纳假设，可从基本题到技巧题逐步加深：归纳递推的关键时利用归纳假设，