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1、第九章 级数,第一节 数项级数及其敛散性 第二节 幂级数 第三节 傅里叶级数,一、数项级数及其敛散性 1数项级数的概念 定义1 设给定一个数列 则表达式 （111） 称为常数项无穷级数，简称数项级数，记作 即 其中第n 项 称为一般项或通项,第一节 数项级数及其敛散性,例如，级数 的一般项为 又如级数 的一般项为 简言之，数列的和式称为级数. 定义2 设级数（111）的前项之和为 称Sn为级数的前项部分和当依次取1，2，3，时，,新的数列 ， ， 数列 称为级数 的部分和数列若此数列的极限存在，即 (常数),则S 称为 的和，记作 此时称级数 收敛如果数列 没有极限，则称级数 发散，这时级数没
2、有和,当级数收敛时，其部分和 是级数和S的近似值，称 为级数的余项，记作 ，即 例1 判定级数 的敛散性. 解 已知级数的前n项和是：,因为 ,所以这个级数收敛,其和为1. 例2 判定级数 的敛散性,解 已知级数的前n项和是 因为 ， 所以这个级数发散. 例3 讨论等比级数（也称几何级数） 的敛散性.,解 (1) 前n项和 当 时， ，所以级数 收敛，其和 当 时， 所以级数 发散. (2) 当 时， 于是,所以级数 发散. 当 时， ，其前n项和 显然，当n时，Sn没有极限.所以，级数 发散. 综上所述，等比级数 ，当 时收敛, 当 时发散.,例如，级数1+2+4+8+2n-1+是公比为2的
3、几何级数, 由于 ，所以级数是发散的 级数 是公比为-1的几何级数, 由于 ，所以该级数发散. 注意 几何级数 的敛散性非常重要.无论是用比较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础. .,例4 把循环小数 化为分数. 解 把 化为无穷级数 这是公比为 的几何级数，由等比数列求和公式,所以 这个无穷级数的和为 ，即 2数项级数的基本性质 性质1 如果级数 收敛，其和为s, k为常数，则级数 也收敛，其和为ks；如果级数 发散，当k0时，级数 也发散. 由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变. .,性质2 若级数 与 分别收敛于与 ，
4、则级数 ，收敛于 性质3 添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变. 性质4 若级数 收敛，则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变. 应当注意，性质4的结论反过来并不成立.即如果加括号后级数收敛，原级数未必收敛. .,例如级数 （1-1）+（1-1）+（1-1）+ 显然收敛于零，但级数 1+1-1+1-1+ 却是发散的. 性质5（两边夹定理） 如果 且 和 都收敛，则 也收敛,性质6（级数收敛的必要条件） 若级数 收敛，则 例5 判别级数 的敛散性 解 因为 所以级数 发散. 例6 判别级数 的敛散性.,解 级数 与级数 都收敛，故由性质2知，级数 收敛. 注意 性质6可以
5、用来判定级数发散：如果级数一般项不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使 ，也不能由此判定级数 收敛.下面的例9正说明了这一点： ，但级数 发散.,例7 证明调和级数 是发散级数. 证 调和级数部分和 如图， 考察曲线,，所围成的曲边梯形的面 积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系. 所以，阴影部分的总面积为 它显然大于曲边梯形的面积S，即有,而 ，表明A的极限不存在，所以该级数发散.,二、正项级数及其敛散性 如果 0（n=1,2,3），则称级数 为正项级数 定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界. 例1 证
6、明正项级数 是收敛的 证 因为 于是对任意的有,即正项级数的部分和数列有界，故级数 收敛. 定理2（比较判别法） 设 和 是两个正项级数，且 (1)若级数 收敛，则级数 也收敛； (2)若级数 发散，则级数 也发散.,例2 讨论 级数 （ ）的敛散性 解 当 时， ，因为 发散，所以由比较判别法知，当 时，发散. 当 时，顺次把 级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，加括号后得 它的各项显然小于级数,对应的各项，而所得级数是等比级数，其公比为 ，故收敛，于是当 时，级数 收敛. 综上所述， 级数 当 时发散，当 时收敛. 注意 级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关 级
7、数敛散性的结论必须牢记.,例3判定级数 的敛散性. 解 因为级数的一般项 满足 而级数是p2的 级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.,例4 判别级数 的敛散性. 解 因为 而 是由调和级数去掉前两项后所得的级数，它是发散的，所以由比较判别法知级数 发散.,重要参照级数:,等比级数, p-级数。,定理3 比较判别法的极限形式:,注:,须有参照级数.,比较审敛法的不方便,解,发散.,故原级数收敛.,定理4（达朗贝尔比值判别法） 设 是一个正项级数，并且 ，则 (1)当 时，级数收敛； (2)当 时，级数发散； (3)当 时，级数可能收敛，也可能发散. 例6 判别下列级数的敛散性 (1) ； (
8、2),解 (1) 所以级数 发散； (2) 所以级数 收敛.,解,解,定理6(根值判别法，柯西判别法),设 为正项级数，且 （1）当 时，级数收敛； （2）当 时，级数发散； （3）当 时级数可能收敛也可能 发散,注意:,解,解,比值审敛法失效.,根值审敛法也一定失效.,改用比较审敛法,要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行： (1)用级数收敛的必要条件 如果 ，则级数发散，否则需进一步判断. (2)用比值判别法 如果 ，即比值判别法失效，则改用比较判别法. (3)用比较判别法 用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比级数， 级
9、数等.,三、交错级数及其敛散性 级数 称为交错级数. 定理4（莱布尼兹判别法） 如果交错级数 满足莱布尼兹(Leibniz)条件: (1) (2) 则级数 收敛，其和 S ，其余项 ,例6 判定交错级数 的敛散性. 解 此交错级数 ，满足： (1) ； (2) 由莱布尼兹判别法知级数收敛. 四、绝对收敛与条件收敛 定义3 对于任意项级数 ,若 收敛，则称 是绝对收敛的；若 收敛，而 发散，则称 是条件收敛的.,定理5 绝对收敛的级数必是收敛的. 事实上，如果 收敛， 由于 故从性质1及性质5知 也是收敛的. 例7 判定级数 的敛散性. 解 因为 ， 而级数 收敛，故由比较判别法可知级数 收敛，
10、从而原级数 绝对收敛.,例8 判别级数 的敛散性，说明是否绝对收敛. 解 因为 故由比值判别法可知级数 收敛，所以原级数 绝对收敛.,例9 判别级数 是否绝对收敛. 解 因为 故由比值判别法可知级数 发散，从而原级数 不是绝对收敛.,例10 证明级数 条件收敛. 证 由莱布尼兹判别法知级数 收敛，而 为调和级数，它是发散的，故所给级数条件收敛.,第二节 幂级数 一、幂级数的概念 1.函数项级数 如果级数 ( 11.2) 的各项都是定义在某个区间I上的函数，则称该级数（2.2）为函数项级数，un(x)称为一般项或通项. 当x在I中取某个特定值 时，函数项级数( 2.2）就是一个常数项级数.如果这
11、个级数收敛，则称点 为这个级数的一个收敛点。若发散，则称点 为这个级数的发散点.一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域. 对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一个收敛的常数项级 数，因此有一个确定的和 S，在收敛域内，函数项级数的和是 x 的函数,S(x)，通常称S(x)为函数项级数的和函数，即 其中 x 是收敛域内的任一点. 将函数项级数的前项和记作 ，则在收敛域上有 2.幂级数的概念 形如 (11.3),的函数项级数，称为 的幂级数，其中常数 称为幂级数的系数. 当 0时，（11.3）幂级数变为 (11.4) 称为 x 的幂级数. (1)幂级数的收敛半径 x 的幂级数各项取绝对值
12、，则得到正项级数,由比值判敛法 其中 当 时，若 ，即 ，则级数(11.4)收敛，若 即 ，则级数（11.4）发散. 这个结果表明，只要 就会有一个对称开区间（-，），在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂,级数发散，当 x =R 时，级数可能收敛也可能发散. 称 为幂级数（11.4）的收敛半径. 当 时， ，则级数（11.4）对一切实数 x都绝对收敛，这时收敛半径 . 如果幂级数仅在 x0一点处收敛，则收敛半径R0. 定理1 如果x的幂级数（11.4）的系数满足 则 (1)当 时，,(2)当 时， (3)当 时， (2)幂级数的收敛区间 若幂级数(11.4)的收敛半径为 R，则（-R，R
13、）称为该级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛，把收敛区间的端点xR 代入级数中，判定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.,例1求下列幂级数的收敛半径及收敛域 (1) (2) (3) 解 (1) 因为 所以幂级数的收敛半径 . 所以该级数的收敛域为（-，+）；,(2)因为 所以所给幂级数的收敛半径R=1. 因此该级数的收敛区间为（-1，1） 当x1时，级数为调和级数，发散 ； 当x=-1时，级数为交错级数，收敛 故该级数的收敛域为 -1,1) .,(3) 因为 所以所给幂级数的收敛半径 . 因此没有收敛区间，收敛域为 ，即只在 处收敛.,例2 求幂级数 的收敛半径 解 所给级数缺少偶次方项，根据比值法求收敛半径 当
