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1、第二节 单纯形法,单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947 年由美国斯坦福大学教授丹捷格（G.B.Danzig） 提出。 尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世， 但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对 的“市场”占有率。,1.线性规划的标准型 用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型：,标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束,一、单纯形法的预备知识,标准型的矩阵表示：,称为决策变量向量， 称为价格系数向量, 称为技术系数矩阵, 称为资源限制向量。,其中,非标准形式如何化为标准型？,1) Min型化为Max型,加负号,因为，求一个函数 的极小点，等价于求该 函数的负函数的极
2、大点。,注意： Min型化为Max型求解后，最优解不变，但最优值差负号。,如原问题,可化为,2) 对约束，可添加松弛变量构成等式约束,分析：以例1中煤的约束为例,之所以“不等”是因为左右两边有一个差额，称为“松 弛量”，若在左边加上这个松弛量，则化为等式。而这 个松弛量也是变量，记为X3 ，则有,问题：它的实际意义是什么？ X3称为松弛变量，它的价格系数c3=0。, 煤资源的“剩余”。,3) 对约束，可添加剩余变量构成等式约束,例如，对约束,减去剩余变量x40，构成等式约束,同样，剩余变量的价格系数c4=0。,4) 当模型中有某变量 xk 没有非负要求，称为 自由 变量, 则可令,5）若某一常
3、数项 b i0这时只要在b i相对应的约 束方程两边乘上-1。,6) 若x0,则令x= -x,练习1：请将例1的约束化为标准型,易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。,一般地，记松弛变量的向量为 Xs，则,问题：松弛变量在目标中的系数为何？, 0。,练习2：将下面非标准线性规划化为等价的标准型,将目标函数转化为求极大型，即得,对第一个约束添加松弛变量x40，得,对第二个约束减去剩余变量x50，得,对自由变量 x3，令,min z= - x1+3x2-7x3,max z= x1 - 3x2+7x3,x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7,2x1 - x2 + x3 x5 = 4,
4、x3 = x3 - x3， x30，x30,原规划化为标准型：,max z= x1 - 3x2+7x3- 7x3,练习2：将下面非标准线性规划化为等价的标准型,min z= - x1+3x2-7x3,练习3：,minZ=x1+2x2-3x3 x1+x2+x3 9 -x1-2x2+x3 2 3x1+x2-3x3=5 x10，x20， x3无约束,令x1=-x1，x3=x3 -x3“ Z=-Z。,maxZ=x1-2x23(x3- x3“) -x1+x2+x3- x3“x4 =9 x1-2x2+ x3- x3“ - x5 = 2 -3 x1 +x2-3(x3- x3“ ) =5 x1 x2 x3 x
5、3 “ x4 x5 0,标准型为:,2.基本概念,（1）可行解与最优解,直观上，可行解是可行域中的点，是一个可行的方案； 最优解是可行域的角点，是一个最优的方案。,假设nm，且系数矩阵,的秩为m，用Pj表示A中第j列的列向量，即,由此，矩阵A可表示为A=P1 P2 Pn,（2）基矩阵与基变量,基向量：基B中的列；其余称非基向量。,基变量：与基向量Pj对应的决策变量xj，记其组成的 向量为XB； 非基变量：与非基向量对应的变量称非基变量，记其 组成的向量为XN。,基矩阵(基)：设A是mn阶约束系数矩阵（mn）,秩为m。 A=（ P1,P2,Pn ）,则A中m阶可逆子阵 B=（ P1,P2,Pm
6、）为线性规划的一个基。其余部分称为非基矩阵，记为N, 6个。,一般地，mn 阶矩阵A中基的个数最多有多少个？,问题：本例的A中一共有几个基？,p16,（3）基本解与基本可行解,当A中的基B取定后，不妨设B表示中的前m列，则可记A=（B N）,相应地 X= (XB XN)T,约束中的 AX=b 可表示为,即,当取XN=0时，有,可见：一个基本解是由一个基决定的。 注意：基本解仅是资源约束的解，并未要求其非负，因此其未必可行。,称非负的基本解为基本可行解（简称基可行解）， 对应于基可行解的基称为可行基。,例4：在上例中,求相应于基B1和B2的基本解，它们是否基本可行解？,上二组概念间的联系：,几种
7、解之间的关系：,问题：基本可行解是可行域中的哪些点？,3.基本定理,（1）线性规划的可行域是一个凸多面体。,（2）线性规划的最优解（若存在的话）必能在可行 域的角点获得。,（3）线性规划可行域的角点与基本可行解一一对应。,因此，在角点中寻找最优点即可转化为在所有基本可行解中寻找最优解。因此，只需考虑所有基本可行解就够了,二、单纯形法的步骤,单纯形法是一种迭代的算法，它的思想是在可行域的角点基本可行解中寻优。由于角点是有限个（为什么？），因此，算法经有限步可终止。,1.确定初始基可行解,由于基可行解是由一个可行基决定的，因此，确定初始基可行解X0相当于确定一个初始可行基B0。,问题：若B0=I，
8、则X0=？,方法：若A中含I，则B0=I，由此可得初始基本可行解 若A中不含I，则可用人工变量法构造一个I。,2. 最优性检验,问题：用什么检验？,把目标函数用非基变量表示。,因此，对给定的一个可行基B(即给定一个基本可行解XB=B-1b, XN=0)，判别它是否最优，,（2）若所有j0时，这个基本可行解为优；反之，若有某一检验数 k 0，则此解一定不是最优, 转3。,2. 最优性检验（续）,（1）只需计算每一非基变量 x j 的检验数,z,3. 寻找更好的基可行解,由于基可行解与基对应，即寻找一个新的基可行解，相当于从上一个基B0变换为下一个新的基B1，因 此，本步骤也称为基变换。,（基变换
9、）,以例1为例，可按上述单纯形法的步骤求出其最优解，其大致的过程如下。,（1）先将模型化为标准型,(2) 确定初始基可行解、检验,以例1为例，可按上述单纯形法的步骤求出其最优解，其大致的过程如下。,（1）先将模型化为标准型,(2) 确定初始基可行解、检验,（3）换基、计算下一个基可行解、再检验，直至最优,问题：当模型规模较大时，计算量很大。,事实上，单纯形法的实现是在单纯形表上完成的。,练习：对于下面的线性规划,（1）用图解法求解； （2）将模型化为标准型； （3）用单纯形法步骤求出其最优解，并指出求 解过程中每一个基可行解相当于可行域的 哪一个角点。,三、单纯形表,单纯形表是基于单纯形法的步
10、骤设计的计算格式，是单纯形法的具体实现。,回顾单纯形法步骤,单纯形表的主要结构：,问题：第一张表的B-1=？,单位阵I。,检验数的公式是什么？,按上式计算基变量检验数为0,B-1Pj 在哪里？,-B-1A 中的 j 列,例5：用单纯形法求解例1,问题：标准模型的A中是否含I？,松弛变量系数恰好构成I。,例5：用单纯形法求解例1,初始单纯型表：,化为标准型,松弛变量系数恰好构成I。,下一张表将通过实行初等行变换（称高斯消去）得到。 方法是：先将主元消成1，再用此1将其所在列的其余元消成0。, ,主元, , ,以10为i主元进行初等行变换, , ,（请解释其实际意义）,以 为主元进行初等行变换,0
11、 0 0 -1.36 -0.52,2.5,练习：用单纯形法求解下面的线性规划, ,单纯形表：,【 】,【 】,【 】,【 】,Min型单纯形表：,Min型单纯形表与Max型的区别仅在于：检验数反号，即 -当检验数均大于等于零时为最优； -令负检验数中最小的对应的变量进基。,四、大M法,1 问题,设问题：,A中不含 I,例如， 用单纯形法求解线性规划,例如， 用单纯形法求解线性规划,解： 首先增加松弛变量与剩余变量x4、x5，将模型约束化为标准型,2 方法,在第二、第三个约束方程左边分别添加人工变量x60、x70。 在求极大型M问题中，人工变量在目标函数中系数均为-M；在求极小型min问题中，系
12、数均为M，其中M是很大很大的正数。, ,1 -2 2 1 0 0 0,-2 1 1 0 -1 1 0,-1 0 1 0 0 1 1,-4+3M 3-M 2-2M 0 -M 0 0, , ,1 -2 2 1 0 0 0,-2 1 1 0 -1 1 0,-1 0 1 0 0 1 1,-4+3M 3-M 2-2M 0 -M 0 0,4 3 -2 0 1 0 0 -2,2 -1 1 0 0 -1 1 -1,2 -1 0 1 0 0 0 1,-2+M 3-M 0 0 M 0 2M-2,2,8 1 0 0 1 -2 2 -4,2 -1 1 0 0 -1 1 -1,2 -1 0 1 0 0 0 1,1 0
13、0 0 3 M-3 M+1,最优解的基变量中含有人工变量，可以证明此情况下，原问题无可行解； 最优解的基变量中不含人工变量，即人工变量均为零，可以证明在此情况下，从最优解中去掉人工变量即为原问题的最优解,使用大M法会出现下列两种情况：,p26,解的几种情况在单纯形表上的体现（Max型）：,唯一最优解：终表非基变量检验数均小于零； 多重最优解：终表非基变量检验数中有等于零的；(书例2.12),练习：用单纯形法求解下面的线性规划, ,问题：本题的单纯形终表检验数有何特点？, 非基变量x2 的检验数等于零。,解的几种情况在单纯形表上的体现（Max型）：,唯一最优解：终表非基变量检验数均小于零； 多重最优解：终表非基变量检验数中有等于零的；(书例2.12) 无界解：任意表有正检验数相应的系数列均非正。(书例2.13) 无解：用人工变量法求解，人工变量模型的最优解基中含有人工变量 退化解：在单纯形终表中，最优解为 若其中某分量bk=0，则称此解为一个退化解,
