经典必读【当数学碰到艺术+黄金比例与艺术】

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1、當數學碰到藝術,黃金比例與藝術,前 言 建築巡禮,黃金比例 數據推導,在建築上的應用,在藝術上的應用,在日常生活中的應用,歷史由來 黃金比例的出現,正五邊形與黃金比例,黃金矩形 數據推導,在藝術上的應用,圖片出處,參考資料,目錄 ,結 語,真的嗎，真是太好了。,小蝴蝶，爺爺今天帶妳去世界 各地逛逛。,哇！我在電視上有看過哦！,這是日本的東京鐵塔。 建於1958年，高332.6公尺。,東京鐵塔剛建好的時候，東京還處 於重建之中，還是一個低建築的城 市，因而東京鐵塔成為東京最著名 的標誌性建築之一。在許多日劇中 都會看到東京鐵塔的身影。,哇！好漂亮哦！,這是法國巴黎的艾菲爾鐵塔。 建於1889年，

2、高324公尺。,艾菲爾鐵塔最著名的是防範強風吹襲 的對稱鋼筋設計，兼具實用與美感考 量，是巴黎及法國的標誌。在大晴天 的日子裡，可從此遠眺，70公里以外 的巴黎近郊地區。,哇！好高哦！比東京鐵塔更高呢！,這是加拿大多倫多的CN塔。 建於1976年，高553.3公尺。,CN塔是目前世界第一高的高塔，被美國建築協 會評比為世界七大奇特建築物之一。,CN塔最初的建造目的不是為了觀光，而是做為 電視台和調頻電台、傳送微波信號的資訊塔。,爺爺！為什麼這些鐵塔的展望台都不是在中間呢？,小蝴蝶，妳觀察的很仔細哦！,（即 全長：長段長段：短段）,則 ：X X ：( X）,小蝴蝶你真棒！我們把你算 出來的X值化

3、為小數，約為 0.618。 反比則約為1.618。這就是黃 金比例。,X 代表線段長，負不合,而這種分割方式就稱為黃金分割。,黃金比例？跟這個有什麼關係呀？,古代學者認為人們在潛意識中，存在一種特殊的數理關係，這個數理關係對人們的美學觀感影響很大，而這個數理關係就是黃金比例。,美術課在討論【美的形式】時，我們都會提到一個美的形式，叫做【比例】。,拉斐爾 雅典學院 The School of Athens 1509,以艾菲爾鐵塔為例，全高320公尺 ，第二層觀景台高度約117公尺， 第二層觀景台到塔頂約203公尺。,從上面的數據中，我們可以知道：接近黃金比例的比例，可以讓我們感覺到美觀。,再看看

4、CN塔的例子，高553.3公尺，觀景台高度346公尺，觀景台到塔頂約207.3公尺。,哦！原來如此！,這裡是希臘雅典的衛城(Acropolis) 遺跡區，1987年列入聯合國教科文組 織世界遺產地。,古代建築中也有黃金比例的應用哦！,一提到這裡，就會讓人想到巴特農神 殿(The Parthenon) ，它不但是古文 明遺跡，也是希臘歷史、建築、哲學 思想的縮影，它所代表的理性美和數 學精算，至今都還影響著我們的生活。,巴特農神殿是希臘人追求理性美是極致表現。例如柱身看來等寬，其實是中間略粗，以矯正人類視覺的錯覺。,哇！古代希臘人好厲害喔！,P.S. 圖中每一線段，藍線與紅線之比皆為黃金比例。,

5、又如柱子看來都是垂直的，其實不然，越外圍的柱子越往中間傾斜 等，而且處處都是數學上黃金比例造成的建築結果。,另外，黃金比例也被畫家用在其畫作上。,我知道，這是米勒的拾穗！,小蝴蝶真棒！米勒（Jean-Francois Millet，1814-1875） 是法國十九世紀以農民題材著稱，也是美術史上影響後世 、貢獻最多的農民畫家。,P.S. 圖中的每一線段，藍線與紅線之比皆為黃金比例。,米勒是一位勤勞、親切而純樸的人，他一生留下的油畫不多，約略 八十幅，拾穗（The Gleaners，1857）是其中色彩最豐富、線 條最細膩，也是米勒最重要的代表作，目前被收藏在羅浮宮。,我們再來看看米勒的另一幅畫

6、作晚禱。,這幅畫作描寫兩位年輕夫婦聽到向晚的鐘聲，虔誠的 向神禱告的情景。,在遠遠地可以看到教會尖塔的黃昏田地上，兩人如剪 影般凸顯出來的姿勢令人感動，俄國大文豪托爾斯太 極力稱讚這幅畫，米勒也因這幅畫而聞名世界。,如果我們再用黃金比例的紅藍線來看這幅畫作，可以 發現整幅畫的交叉點在婦女虔誠的祈禱手勢中。,而右下角的黃金比例線則交叉在收穫的榖物上，象徵著感謝上天的賜予。,我覺得這幅畫好有故事性，難怪大文豪都被感動了！,P.S. 圖中的每一線段，藍線與紅線之比皆為黃金比例。,小蝴蝶，接下來,爺爺，這也是藝術家的畫作嗎？看 起來好像是小朋友的著色畫。,小蝴蝶，妳先聽爺爺講完嘛！,這是彼埃蒙德里安

7、（Piet Cornelies Mondrian；18721944）的構成A。,這是一幅屬於新造形主義 Neo-Plasticism的創作。蒙德 里安在白色的畫布上，用水平和垂 直的黑線條去分割，沒有用對角斜 線，然後在那些分割畫面中塗上色 彩的原色，像是紅色、黃色和藍色 。,P.S. 圖中的每一線段，藍線與紅線之比皆為黃金比例。,這種繪畫看起來呆板，其實那些大 小不一的方格、不同顏色及長短不 同的線條所產生的和諧及韻律，是 極具音樂性的。從左邊的圖中，也可以看出蒙德里安將黃金比例融入畫作中。,蒙德里安是風格派運動幕後藝術家 和非具象繪畫的創始者之一。這種 以幾何圖形為繪畫的基本元素的畫 風，

8、其實對後代的建築、設計等影 響很大。,爺爺，我瞭解了！,剛剛我去上網搜尋，發現有人用蒙德里安的畫作來設計窗簾呢！,！,黃金比例也被用在我們日常生活中喔！,拍照時用的“三分法則”實際上就是“黃金分割”的簡化版。,“三分法則”有兩種基本方法。第一種：我們可以把畫面分 成分別占1/3和2/3面積的兩個區域。,就像上面的風景照。山脈、天空和雲層占了照片上方的 1/3面積，而平原、河流和樹林占了照片下方的2/3面積。,使用上述二種方法，可以避免對稱式構圖。對稱式構 圖通常把被拍的物體置於畫面中央，或者平分畫面，這樣的結果常常會令人感覺到呆板或厭煩。,第二種方法：尋找一個與周遭環境形成鮮明對比的物 體，並

9、將這一被攝物置於其中一個“十”字點位置，這 樣照片就有了一個明顯的錨點，並將觀眾的目光由此 出發引導至整個風景。,哇！好漂亮的照片，下次我也要試試看。,爺爺再舉另外一個生活中的例子哦！ 假設有一位小姐身高160公分，下半身 （從肚臍到腳底）長96公分。,喔！所以女生穿高跟鞋可以改善身高 與下半身的比值，讓自己看起來更美 麗。,是的！就是這個意思！,哇！天氣好熱呀！這時候如果有一把扇子可以搧搧，一定很舒服。,爺爺，天氣熱，小蝴蝶幫你搧搧扇子！,哇！好舒服喔，謝謝小蝴蝶！小蝴蝶，妳知道扇子的設計也可以利用黃金比例嗎？,呀！真的嗎？！,P.S. 上圖為齊白石大師所繪製的扇面。,小蝴蝶，妳看看，如果我

10、們將一個圓形 分成二個扇形區塊，A1及A2。當面積 比A1：A2的比值是1.618時，A2的角度 是幾度？,又因為 A1角度 A2角度 360度 所以 A2角度約為137.5度,A1面積：A2面積A1角度 ： A2角度 1.618 ： 1,小蝴蝶真棒！完全正確。所以呀，小蝴蝶，從下面這幾種扇子中，妳覺得哪一個看起來比較舒服？,都很漂亮呢！不過我比較喜歡中間這個！,所以當扇子張開的角度接近黃金角(約137.5度角) 時，我們會覺得比較美觀。,爺爺，您說了那麼多黃金比例的應用， 那麼黃金比例是誰發現的？,西元前世紀，古希臘的畢達哥拉斯學 派研究過正五邊形的作圖，而且該學派 也用正五邊形做為它們的徽

11、章。所以推 斷當時畢達哥拉斯學派已經掌握了黃金 比例。,西元前世紀，古希臘的數學家歐多克 索是第一個有系統研究這一問題，並建 立起比例理論。,畢達哥拉斯,文藝復興時期，義大利數學家帕喬利稱 黃金比例為神聖比，並專門為此著書立 說。,到了近代，黃金比例被發現有許多有趣 的性質，人們對它的實際應用也開始廣 泛的討論，甚至還有定期的專刊在討論 。,西元前年，歐幾里得撰寫幾何 原本時，進一步有系統的論述了黃金 比例，成為最早的有關黃金比例的論著,哦，這樣我知道了！,為什麼正五邊形會與黃金比例有關呢？,小蝴蝶很棒哦！再問妳： 右邊圖中的、的角度。, 及都是等腰 0 0,有呀！兩個三角形相似。,小蝴蝶真棒

12、！那請問妳： 及有沒有相似？,因為相似形對應邊成比例。,小蝴蝶妳看，黃金比例是不 是又出現了呢？,是呀！我看到了！,所以，正五邊形的對角線長與邊長的比，也是黃金比例。 事實上，在正五邊形中還可以找到更多的黃金比例關係，因為要用高中學的三角函數才方便說明，我們就不講了。,右邊這個圖就是畢達哥拉斯 學派的徽章。,黃金矩形？！,小蝴蝶，在講下一個應用前，爺爺要先跟妳介紹黃金矩形。,不是啦！黃金矩形其實就是長與寬的比為黃金比例的矩形。,而這個小矩形與原來的矩形相似，那麼 原來矩形與小矩形都是黃金矩形。,如果我們將一個矩形，切割成一個正方 形與一個小矩形。,那這個矩形有固定的大小或尺寸嗎？,有呀！就是前

13、面所講的，長寬比為黃金比例的矩形。,我們可以利用九年級會學到的相似形來 證明。,原來矩形的長寛比小矩形的長寬比,X ： 1 1 ： X-1,因為 內項積外項積,所以 1 = X ( X-1 ),經整理得 X2-X-1=0,因此得知黃金矩形的長寬比比值 為1.618。,左邊這尊維納斯雕像，是在西元1820年於希臘愛琴海中的米羅島 被發現的，所以又稱為米羅的 維納斯。現在它被收藏在法國 巴黎的羅浮宮博物館，與希臘的 勝利女神像和達文西的蒙 娜麗莎的微笑成為羅浮宮的 三寶。,爺爺，您介紹黃金矩形要做什麼？,先讓我們來看看下面的例子吧！,米羅的維納斯雖然遺失了手臂 ，其身材比例勻稱、神情平靜高貴 ，且

14、體態優雅迷人，確實被許多人 認為是女性美的典範和象徵。,因此，雖然古希臘的神像都是模仿現 實的人體美去塑造，但這些完美雕像 的各部份比例幾乎都蘊含著黃金分割 比值。而維納斯雕像就是黃金比例的 最佳範本之一，因此深具古典美。,希臘人一向非常具有數學頭腦，尤其 古希臘的藝術家們就認為，勻稱協調 的美可以用適當的數字比例呈現出來 ，而這個美的比例就是所謂黃金分 割比值的運用。,哇！好神奇喔！ 難怪維納斯被稱為美的象徵。,P.S. 上圖中不同顏色的矩形皆為黃金矩形。,那就是文藝復興巨匠米開朗基羅的代表作大衛雕像，這座舉世聞名被視為黃金比例美男子象徵，具有完臻身形、體態優雅、肌肉壯碩、雍容高貴的美感。,

15、也有著名的男性雕像哦！,高4.342公尺、重五千多公斤的大 衛雕像，原作目前置放於義大利 佛羅倫斯學院藝廊。,米開朗基羅26歲受委託雕塑大衛雕像憑藉年輕敬業，自信、成熟、自傲而於三十歲時完成。,大衛雕像是由一整塊巨大的 質感良好純白大理石雕刻而成， 米開朗基羅精研肌膚、血管紋路 及關節，準確數學基礎，以其超 美感力量嘔心創造這座充滿勇氣 和力量的大衛雕像成為文藝 復興的獨特風格，被推崇為古典 藝術品的典範。,藝術家們好辛苦呀！,P.S. 上圖中不同顏色的矩形皆為黃金矩形。,小蝴蝶！接下來，我們。,我知道！這是蒙娜麗莎的微笑。,對！這是達文西畫的蒙娜麗莎的微 笑。這幅畫顯示了一位表情內向的 、微

16、帶笑容的女士，她的笑容有時被 描寫為神秘的笑容。,蒙娜麗莎的微笑被許多人認為是 藝術史中最著名的一幅畫，在歷史上 很少有其它被如此浪漫化、受讚揚和 被複製的藝術作品。,達文西使用了朦朧畫法（Sfumato） 、空氣透視法及暈塗法，前者造就似笑非笑的效果，後者以藍灰色調使後方景色與前景拉出而造就出繪畫深遠感 。,黃金比例是義大利人佩西歐里 （Pacioli）主張的，他是畫家達文 西的莫逆之交。因此達文西本人也 受其影響，在他的作品中處處隱藏著黃金比例。,15世紀文藝復興，當時的人畫風較死板，人物非常的清楚與堅硬，甚至可以說有點粗澀、近乎呆木，可是達文西不但在其描繪的人物臉上開始有了笑容，他把物品的輪廓與外貌描繪的十分曖昧，反而讓它自然的溶入旁邊的影物或陰影裏，使呈現出矇曨與柔軟的風格，流露著莊嚴、和諧、