《2017-2018学年高一数学新人教a版必修1课件：第2章 基本初等函数（ⅰ） 2.1.2.2 习题课 指数函数及其性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高一数学新人教a版必修1课件：第2章 基本初等函数（ⅰ） 2.1.2.2 习题课 指数函数及其性质（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 习题课指数函数及其性质,类型一 比较两数的大小 【典例1】比较下列各题中两个值的大小: (3)0.20.3,0.30.2.,【解题指南】利用指数函数的单调性、图象或中间量比较大小.,【解析】(1)因为0-2.5,所以,(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y= 与y= 的图象,如图所示.当x=-0.5时,由图象观察 可得,(3)因为00.20.31,所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在定义域R上均是减函数,且在区间(0,+)上函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方(类比于题(2)图),所以0.20.20.30.2. 又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数可得0.
2、20.30.20.2,所以0.20.30.30.2.,【方法总结】比较幂值大小的三种类型及处理方法,【巩固训练】已知a是方程x2-x-1=0的正根且 f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)f(n),则m,n的大小 关系是_.,【解析】由题意a= 1,所以f(x)=ax在R上是 增函数,又因为f(m)f(n),故mn. 答案:mn,【补偿训练】比较下列各组数的大小:,【解析】因为y= 是减函数且-1.8-2.5, 所以 因为 =0.80.4, 又因为y=0.8x是减函数且0.50.4, 所以0.80.50.80.4,即0.80.5,因为0.6-20.60=1, 所以0.6-2,类型二 简单的指
3、数不等式 【典例2】(1)解不等式 2. (2)若a-3xax+4(a1),求x的取值范围.,【解题指南】(1)将不等式左端利用分数指数幂的运算性质化为以2为底的指数式,然后利用指数函数y=2x的单调性即可求解. (2)利用指数函数y=ax(a1)在R上是增函数,将原不等式化为一元一次不等式来求解.,【解析】(1)原不等式2-2x+12-2x+11x0, 故原不等式的解集为0,+). (2)因为f(x)=ax(a1)是R上的增函数,且a-3xax+4, 所以-3xx+4,即x-1,故x的取值范围是x-1.,【延伸探究】 1.若把本例(2)中的“a1”换为“0a1”,其他条件不变,则结果又是什么
4、呢?,【解析】因为0ax+4-3x-1, 故x的取值范围是x-1.,2.若把本例(2)中的“a1”换为“a0且a1”,其他条件不变,则结果又是什么呢?,【解析】当a1时,原不等式-3xx+4x-1, 故当a1时,x的取值范围是x-1.,【方法总结】af(x)ag(x)(a0且a1)型的指数不等式的解法 (1)a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x). (2)0ag(x)f(x)g(x). 提醒:不等式的解集一定要写成集合或区间的形式,不能写成不等式的形式.,【拓展】非同底的简单指数不等式的解法 (1)形如axb的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂 的形式,再借助y=ax的单调性求解. (
5、2)形如axbx的不等式,可借助图象求解,也可转化为 1来解.,【补偿训练】函数y= 的定义域是_. 【解析】由32x-1-3x0得32x-13x,所以2x-1x,即x1. 答案:1,+),类型三 指数函数性质的综合应用 【典例3】(2017大庆高一检测)已知定义在R上的 奇函数f(x)= (1)求a,b的值. (2)判断并证明f(x)在R上的单调性. (3)求该函数的值域.,【解题指南】(1)利用奇函数的定义列出a,b的方程组,求解a,b的值. (2)利用增函数、减函数的定义去判断. (3)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子(或分母)含有未知数的形式更容易求值域.,【解析】(1)因为f
6、(x)是R上的奇函数,(2)f(x)在R上是增函数,证明如下: 由(1)知f(x)= .设x1,x2R,且x1x2,则 f(x1)-f(x2)=,因为y=2x是R上的增函数,且x10, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 所以f(x)在R上是增函数.,(3)f(x)= 由2x0,得2x+11,所以0 2, 所以-11- 1,即-1f(x)1, 所以函数f(x)的值域为(-1,1).,【方法总结】 1.形如y=f(ax)(a0,且a1)的函数的单调性的求法 (1)定义法,即“取值作差变形定号”.其中,在定号过程中需要用到指数函数的单调性. (2)利用复合函数的单调性的规律来判
7、断.,2.由指数函数构成的复合函数的值域求法 一般用换元法即可,但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下,函数值域的变化情况.,3.判定函数奇偶性要注意的问题 (1)坚持“定义域优先”的原则:如果定义域不关于原点对称,可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数. (2)正确利用变形技巧:耐心分析f(x)和f(-x)的关系,必要时可利用f(x)f(-x)=0来判定.,(3)巧用图象的特征:在解答有图象信息的选择、填空题时,可根据奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,进行快速判定.,【补偿训练】1.(2017杭州高一检测)函数 f(x)=ka-x(k,a为常数,a0且a1)的
8、图象过点A(0,1),B(3,8). (1)求函数f(x)的解析式. (2)若函数g(x)= 试判断函数g(x)的奇偶性,并给出证明.,【解题指南】(1)要求f(x)的解析式,只需将A(0,1), B(3,8)的坐标代入f(x)=ka-x,列出k与a的方程组,解方程组即可. (2)要判断g(x)的奇偶性,只需判断g(-x)与g(x)的关系.,【解析】(1)由已知得 所以k=1,a= ,所以f(x)=2x. (2)函数g(x)为奇函数,证明如下. g(x)= 其定义域为R, 又g(-x)= 所以函数g(x)为奇函数.,2.已知函数f(x)= (a1), (1)判断函数的奇偶性. (2)求该函数的
9、值域. (3)利用定义法证明f(x)是R上的增函数.,【解题指南】(1)先求定义域,再判断f(-x)与f(x)相等或互为相反数. (2)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子(或分母)含有未知数的形式更容易求值域. (3)定义法证明函数单调性的基本步骤:设元、作差、变形、判号、下结论,可用其证明f(x)在R上是增函数.,【解析】(1)因为定义域为x|xR, 且f(-x)= =-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)f(x)= 因为ax+11,所以 所以-11- 1,即f(x)的值域为(-1,1).,(3)任取x1,x2R,且x11时,y=ax为R上的增函数, 由x1x2得 ),所以f(x)
10、是R上的增函数.,拓展类型:指数型复合函数的单调性 【典例】(1)函数y=( -1)(x+1)(3-x)的单调递增区间 是 ( ) A.(1,+) B.(-,1) C.(1,3) D.(-1,1) (2)求函数y= 的单调区间,并证明.,【解题指南】(1)根据复合函数的单调性只需求 t=(x+1)(3-x)的单调递减区间. (2)要求函数y= 的增区间,只需求u=x2-2x的 减区间.同理,要求y= 的减区间,只需求u=x2-2x 的增区间.,【解析】(1)选A.由定义域为R,令t=(x+1)(3-x)= -x2+2x+3=-(x-1)2+4,此函数在(-,1)上为增函数, 在(1,+)上为减
11、函数,又0 -11,y=( -1)t 在R上为减函数,故函数y=( -1)(x+1)(3-x)在(1,+) 上为增函数.,(2)函数y= 的单调递减区间为1,+), 单调递增区间为(-,1).证明如下: 设u=x2-2x,则y= 对任意的1x1y2, 所以y= 在1,+)上是减函数. 对任意的x1u2,又因为y= 在R上是减函数,所以y1y2, 所以y= 在(-,1)上是增函数.,【方法总结】 1.指数型复合函数的单调性的求解步骤 (1)求定义域:依据题意明确研究范围. (2)拆分:把原函数拆分成几个基本函数. (3)定性质:分层逐一求单调性. (4)下结论:根据复合函数的单调性法则即“同增异减”,得出原函数的单调性.,2.形如y=af(x)的函数的单调性 (1)当a1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相同. (2)当0a1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相反.,
