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1、系统仿真技术 第3章 时域离散相似法,安爱民 兰州理工大学 电信学院,“离散相似法”,对传递函数作离散化处理得离散传递函数，称为频域离散相似模型频域离散相似法 对状态方程离散化得时域离散相似模型时域离散相似法,3.1 时域离散相似法基本原理,3.1.1基本方法 系统状态方程： (1) 解析解： (2) 离散化处理：,基本方法 (续),输入端：加上虚拟采样开关和虚拟信号重构器；输出端：加一个虚拟采样开关 虚拟采样周期：T，两者同步。 对离散化处理后的系统，设kT及(k+1)T为两个依次相连的采样瞬时，则有： (3) (4),基本方法 (续),将(4)式(3)式乘以eAT,可得： (5) (5)式
2、右端的积分与k无关，故可令k=0。 若信号重构器使kT与(k+1)T之间的 不变，积分式中的 保持常数 ，那么，(5)式可改写为： (6),基本方法 (续),若令 ,则有： (7) 信号重构器使 为一斜坡函数（梯形近似），则在原基础上增加 (8) 对应 ，对 引起的变化量为： (9) 令 则： (10),基本方法 (续),(状态转移矩阵) (输入信号采用零阶重构器引入的系数矩阵) (输入信号采用一阶重构器后叠加的系数矩阵) 比较：离散相似法： 方程系数 可以一次求出,每做一步积分只要计算一次右端函数，无须迭代，速度快 . 数值积分方法：每做一步积分要多次计算右端函数，迭代，速度慢,3.1.2
3、状态转移矩阵的计算,3.1.2.1.泰勒级数展开法 由Lion提出 (12) 若级数在i=L处截断 (13) 要求： 或 （14） 其中ri j和mi j对应为R与M的元素，rmax为ri j中最大元素。,状态转移矩阵的计算（续）,(13)式中mmin是容易求出的，但rmax却无法求出，因为R仍是一个无穷项的和。估计rmax： 令 为矩阵R的范数，根据矩阵范数的定义， 有 由 (15),状态转移矩阵的计算（续）,令 (16) 则有 如果 ，则 因此，若 （17） 则满足(14)式，eAT可以按照以下迭代过程来计算：,状态转移矩阵的计算（续）,(1) 选择初始L； (2) 计算矩阵M及mmin；
4、 (3) 用式(16)求； (4)用式(17)判别是否满足精度的要求。若满足，则用M来代替eAT，否则LL1，并重新计算。 系数 的计算：因为 令,3.1.2.2. eAT加速收敛算法,eAT计算：在有些情况下，泰勒级数展开法收敛性较差，即需要取很多项才能达到精度要求。然而项数增加，大量矩阵乘法计算，矩阵计算引入的舍入误差大大增加，影响计算精度。 以一阶系统为例， ，分别令aT等于0.1,0.5,1.0,2.0，泰勒展开式取前m项所达到的计算精度用10b表示：,eAT加速收敛算法（续）,可以看到，-aT1才有较好的收敛性。然而，在某些情况下，全部满足该条件比较困难（比如病态系统），如何加速收敛
5、就成为状态转移矩阵计算中一个必须解决的关键问题。,3.2.1.3.等效转移法,若 ，步长T1，取时间比例尺 ，即原时间t，经等效转移后的时间为，则 由相似定理 若 则 令 并略加整理，可得：,等效转移法(续）,得到新的状态方程： A*、B*阵的各元素ai*、bi*与原来的ai、bi相比较，分别乘以Ti+1、T i，时间常数加大，状态矩阵计算的收敛性则大大加快。需要注意的是，仿真结果的时间比例尺也放大了1/T倍。,缩方与乘方,根据eAT的特性，若设TT2m，m为大于零的整数，则有 先利用泰勒级数法来计算eAT，那么可以取较少的级数项而能获得较高的精度；然后再将它进行2m次方相乘，即可计算出eAT
6、。 需要指出的是，m也不能太大，一般m应小于48，否则计算eAT时会产生很大的舍入误差。,3.2 增广矩阵法,对线性定常系统，离散模型： （1） 这种方法的误差来源于： (1) eAT的计算误差； (2) u(t)误差 尽管 都可归结为eAT的计算，而且eAT的计算误差可以通过缩方与乘方的方法减少，然而，虚拟采样后的信号带来的误差却无法消除。,增广矩阵法（续）,将输入信号也能作为系统的状态对待，那么只需要着眼于提高eAT的计算精度就能达到仿真精度的提高增广矩阵法。 增广矩阵法将 转化为 齐次常微分方程组： （2） 等价的离散模型就变成 （3）,增广矩阵法（续）,其中， （4） 仿真只有一项误差
7、计算 的误差。 例如，阶跃输入时， ，定义第n+1个状态变量为： 增广状态方程及输出方程为： 初始条件：,增广矩阵法（续）,考虑一般情形，设作用函数u(t)可以表示成如下形式： （5） 视u(t)为上述m阶系统的自由响应。设该m阶系统的状态变量为xu， （6） （7）,增广矩阵法（续）,其中 （8） （9） 将该m阶系统增广到原n阶系统，增广状态方程如下：,（10）,增广矩阵法（续）,3.3面向结构图的非线性系统仿真,非线性典型环节位于线性环节之间，不可能统一计算整个系统的 及 ，而只能计算出各个线性部分的 及 (i1，2，N，N表示该系统共有N个线性部分)。 定义仿真模型时，选择如图所示的环
8、节作为基本环节。该环节是在典型线性环节的前面与后面均附属了一个非线性环节，,面向结构图的非线性系统仿真（续）,以被仿真的系统中的线性典型环节为基础确定系统的环节个数、参数，连接矩阵等； 确定非线性环节的归属，对每类非线性环节给出其特征参数和类型参数，以及它位于某一环节孰前孰后的描述参数。 计算过程分四步： 不考虑非线性，根据连接矩阵计算出各环节的输入； 根据各环节前的非线性计算出各环节中线性动态部分的输入； 根据线性部分的离散状态方程计算各环节线性部分之输出； 根据各环节后的非线性计算出各环节中线性动态部分的输出； 然后重复上述四步，直到仿真结束。,3.3.1典型线性动态环节 ， ， 的计算,
9、典型线性动态环节有：积分、比例积分、惯性、超前迟后、比例五种。均以(Ci+Dis)/(Ai+Bis)形式描述。根据每种情况的Ai，Bi，Ci，Di取值，确定分别所对应的线性环节类型，进而计算出该环节的状态转移矩阵的值。,典型线性动态环节的计算(续）,（1）Bi，Di等于零，为比例环节 （2） ， 为积分环节： （3）仅 为比例积分环节：,典型线性动态环节的计算(续）,（4）仅 为惯性环节：,典型线性动态环节的计算(续）,（5）Ai，Bi，Ci，Di均不等于零，为超前迟后环节：,3.3.2非线性系统离散相似法仿真程序,8个参数：，B，C，D，X，Y，Z，S其中， A，B，C，D为环节的参数 X，Y是状态变量及输出变量的初值 Z及S表示附属非线性环节类别及参数， Z0 表示该环节无非线性。 Z1 表示该环节前有饱和非线性。 Z2 表示该环节前有失灵区非线性。 Z3 表示该环节前有回环非线性。 Z4 表示该环节后有饱和非线性。 Z5 表示该环节后有失灵区非线性。 Z6 表示该环节后有回环非线性。 SC 特征参数 STEP计算步距。 L1 打印间隔（即每隔L1*STEP打印一点） L2 打印点数（即仿真总时间为STEP* L1* L2） R 输入阶跃函数的幅度；N系统的环节数；N0 打印变量之个数；N1 ,N2 ,N3打印变量的编号,
