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1、第二章,圆锥曲线与方程,2.2.2 双曲线的几何性质,学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等. 2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 3.能区别椭圆与双曲线的性质.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接,答案 (1)范围：xa或xa； (2)对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的； (3)顶点：双曲线有两个顶点A1(a,0)，A2(a,0).,预习导引 1.双曲线的几何性质,坐标轴,原点,等长,yx,要点一 已知双曲线的标准方程求其几何性质 例1 求双曲线9y216
2、x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.,由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；,规律方法 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.,跟踪演练1 求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.,a24，b212，,焦点坐标为F1(0，4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，2)，A2(0,2)，,要点二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：,解 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，,由联立，无解.,若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为,由联立，
3、解得a28，b232.,A(2，3)在双曲线上，,跟踪演练2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：,则c210k，b2c2a2k.,(2)过点P(2，1)，渐近线方程是y3x.,解 方法一 (首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P(2，1)在渐近线y3x的上方还是下方)如图所示，x2与y3x交点为Q(2，6)，P(2，1)在Q(2，6)的上方，所以焦点在x轴上.,方法二 由渐近线方程y3x，,要点三 直线与双曲线的位置关系 例3 直线l在双曲线 上截得的弦长为4，其斜率为2，求l的方程.,解 设直线l的方程为y2xm，,设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B
4、(x2，y2)两点，,由根与系数的关系，,又y12x1m，y22x2m， y1y22(x1x2)， |AB|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)2 5(x1x2)24x1x2,规律方法 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程.要注意根与系数的关系，根的判别式的应用.若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.,解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，,由于x1，x2是方程(1a2)x22a2x2a20的两根，且1a20，,1,2,3,4,a234a2，a21，a1.,D,A.实半轴长相等
5、 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等,1,2,3,4,1,2,3,4,解析 因为0k5，所以两曲线都表示双曲线，,由c2a2b2知两双曲线的焦距相等，故选D.,答案 D,1,2,3,4,1,2,3,4,解析 由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，,1,2,3,4,答案 C,1,2,3,4,1,2,3,4,又因为双曲线的一个焦点在直线y2x10上， 可知左焦点(c,0)在该直线上， 所以2c100.所以c5.,1,2,3,4,答案 A,课堂小结 1.渐近线是双曲线特有的性质，把双曲线的标准方程 (a0，b0)右边的常数1换为0，就是其渐近线方程.反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2(0)，再结合其他条件求得就可得双曲线方程.,2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一步.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.,
