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1、函,数,的,应,用,第三章,小结,本章内容,3.1 函数与方程,3.2 函数模型及其应用,第三章 小结,本章小结,本章小结,知识要点,自我检测题,复习参考题,返回目录,1. 方程的根与函数的零点,函数 y = f(x) 的零点 方程 f(x) = 0.,若 f(a)f(b)0, 则 f(x) 在(a, b)内必有零点.,若 y=f(x) 是区间 a, b 上的单调函数, 且 f(a)f(b)0, 则 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有一个零点.,2. 用二分法求方程近似根,(1) 求使 f(a)f(b)0 的单调区间 (a, b).,(2) 取 a, b 的中点 x1, 判断 f(
2、x1)f(a) 与 f(x1)f(b) 的正负.,(3) 取积为负的两数的区间, 判断区间长度是否小于精确度e .,(4) 若满足精确度, 则取区间内任一数为近似根; 若不满足精确度, 再重复上面的步骤.,3. 几种函数模型的增长特点, x 很小时, 对数函数,增速最快, 但是负值., x 很小时, 直线快于, x 较小时, 幂函数快,幂函数和指数函数.,于指数函数., x 增大到一定数值时,指数函数最快, 对数函数最慢.,“直线上升, 指数爆炸, 对数增长.”,4. 函数应用,(1) 从图表中获取数据信息.,(2) 求已给函数模型中的常量, 确定函数.,(3) 根据所获数据的规律建立函数模型
3、.,(4) 画散点图, 选择函数模型, 求出所选模型中的常量, 建立函数式.,复习参考题,复习参考题,返回目录,复习参考题,A 组,1. 若函数 f(x) 唯一的一个零点同时在区间 (0, 16)、(0, 8)、(0, 4)、(0, 2)内, 那么下列命题中正确的是( ) (A) 函数 f(x) 在区间 (0, 1) 内有零点 (B) 函数 f(x) 在区间 (0, 1) 或 (1, 2) 内有零点 (C) 函数 f(x) 在区间 2, 16) 上无零点 (D) 函数 f(x) 在区间 (1, 16) 内无零点,C,2, 16)上定无零点.,由题设知, 零点必在区间(0, 2)内.,分析:,C
4、 选项正确.,分析:,由图象看出在前半周时, y 随 x 的增加,而增加;,后半周, y 随 x 的增加而减小.,由上判断可能选 B 或 C.,而 B 中, 点 P 在某一边上运动时, y 随 x 是线性,增长,图象应是线段.,所以应选 C.,C,3. 列车从A地出发直达500 km外的B地, 途中要经过离A地200 km的C地. 假设列车匀速前进, 试画出列车与C地的距离关于时间的函数图象.,解:,先写出函数关系式:,设列车的速度为 v km/h,经过 t h后列车距C地,的距离为 y km.,AC段:,y=200-vt,0vt200.,CB段:,y=vt-200,200vt500.,则,画
5、函数图象如下:,h 随 x 直线型升高.,h 增加先慢后快.,h 增加先快后慢.,h 直线型先慢后快.,5. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 2x3-4x2-3x+1=0 的最大的根 (精确到 0.01).,解:,设 f(x)=2x3-4x2-3x+1,算得几组函数值如下:,由表知函数在 (-1, 0), (0, 1), (2, 3) 内各有一根,最大根在 (2, 3) 内.,5. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 2x3-4x2-3x+1=0 的最大的根 (精确到 0.01).,解:,设 f(x)=2x3-4x2-3x+1,f(2) = -50,(2, 3),2.5,-0.25,f
6、(3) =100,(2.5, 3),2.75,4.09,(2.5, 2.75),2.625,1.74,(2.5, 2.625),2.5625,0.70,(2.5, 2.5625),2.53125,0.21,(2.5, 2.53125),2.515625,-0.02,(2.515625, 2.53125),2.5234375,0.09,(2.515625, 2.5234375),|2.515625-2.5234375|0.0078,0.01,最大根为,x2.52.,6. 借助计算器或计算机, 用二分法求函数 f(x) = lgx 和 f(x) = 的交点的横坐标 (精确到 0.1).,解:,交点
7、的横坐标即方程 的根,由图象知两函数只有一个交点.,设,f(1) =-1,f(2)-0.2,f(3)0.14,于是知交点在(2, 3)内.,6. 借助计算器或计算机, 用二分法求函数 f(x) = lgx 和 f(x) = 的交点的横坐标 (精确到 0.1).,解:,设,f(2)-0.20,f(3)0.140,(2, 3),2.5,-0.002,(2.5, 3),2.75,0.08,(2.5, 2.75),2.625,0.04,(2.5, 2.625),2.5625,0.02,(2.5, 2.5625),0.1,交点的横坐标为,x2.5.,|2.5-2.5625|0.06,解:,作DEAB于E
8、,周长 y =,4+2x+DC,得 DC=4-2AE.,E,在RtADB中, DA2 =,AEAB,即 x2 = 4AE,P,梯形的腰需大于 0,而小于如图的AP,AP =,定义域为,8. 某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是 N=N0e-lt, 其中 N0, l 是正的常数. (1) 说明函数是增函数还是减函数; (2) 把 t 表示为原子数 N 的函数; (3) 当 时, 求 t 的值.,解:,(1),函数变为, 指数型函数 是(-, +)上的,减函数.,8. 某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是 N=N0e-lt, 其中 N0, l 是正的常数. (1)
9、说明函数是增函数还是减函数; (2) 把 t 表示为原子数 N 的函数; (3) 当 时, 求 t 的值.,解:,(2),N=N0e-lt ,当 时,(3),9. 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应. 若公司本次新产品生产开始 x 月后, 公司的存货量大致满足模型 f(x)=-3x3+12x+8, 那么下次生产应在多长时间后开始?,解:,若存货量大于 0, 则能维持市场供应; 反之,则不能, 需进行生产., f(1) =17,f(2) =8,f(3) = -37, 两个月后就应开始生产.,答: 下次生产应在两个月后开始.,B 组,1. 经济学家在研究供求关系时, 一般用纵轴表示产品
10、价格 (自变量), 而用横轴表示产品数量 (因变量).下列供求曲线, 哪条表示厂商希望的供应曲线, 哪条表示客户希望的需求曲线? 为什么?,答: 图(A)中的,曲线是厂商希望的.,因为产品数量随着,单价的增加而增大,产值就有很大的增加.,图(B)中的曲线是客户希望的.,因为产品数量随着,单价的降低而增加, 客户可降低购买成本.,2. 如图, OAB是边长为 2 的正三角形, 记OAB位于直线 x=t (t0) 左侧的图形的面积为 f(t), 试求函数 f(t) 的解析式, 并画出函数 y=f(t) 的图象.,x=t,C,D,解:,其面积分为三种情况:,当 0t1时, f(x) =,当 1 t
11、2时, f(t) =,SOAB - SADC,当 t2 时, f(x) =,得函数的解析式为:,画图象如图:,自我检测题,返回目录,检测题,一、选择题(每小题只有一个正确选项) 1. 方程x-1=lgx必有一个根的区间是( ) (A) (0.1, 0.2) (B) (0.2, 0.3) (C) (0.3, 0.4) (D) (0.4, 0.5) 2. 函数y= 与函数y=lgx的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是( ) (A) 1.3 (B) 1.4 (C) 1.5 (D) 1.6 3. 如果一个立方体的体积在数值上等于V, 表面面积在数值上等于S, 且V=S+1, 那么这个立方体 的一个
12、面的边长(精确度0.01)约为( ) (A) 5.01 (B) 5.08 (C) 6.03 (D) 6.05 4. 实数a, b, c是图象连续不断的函数y=f(x)定义域中的三个数, 且满足abc, f(a)f(b)0, f(b)f(c)0, 则函数y=f(x)在区间(a,c)上的零点个数为( ) (A) 2 (B) 奇数 (C) 偶数 (D) 至少是2 5. 假设银行1年定期的年利率为2%. 某人为观看2008年的奥运会, 从2001年元旦开始在银行存款1 万元, 存期1年, 第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存一年定期存款, 以后每年元旦都这样存, 则到2007年年底
13、, 这个人的银行存款共有 (精确到0.01万元) ( ) (A) 7.14万元 (B) 7.58万元 (C) 7.56万元 (D) 7.50万元 6. 若方程 ax-x-a=0有两个解, 则a的取值范围是 ( ) (A) (1, +) (B) (0, 1) (C) (0, +) (D) 二、填空题 7. 函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0, +)上增长较快的一个是 . 8. 若方程x3-x+1=0在区间(a, b) (a, b是整数, 且b-a=1)上有一根, 则a+b= . 9. 某商品进货单价为30元, 按40元一个销售, 能卖40个; 若销售单价每涨1元, 销售量减少一个, 要 获
14、得最大利润时, 此商品的售价应该为每个 元. 10. 已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a, b) (b-a=0.1)上有唯一零点, 如果用 “二分法” 求这个 零点(精确度0.0001)的近似值, 那么将区间(a, b)等分的次数至少是 .,三、解答题 11. 截止到1999年年底, 我国人口约13亿, 如果经过30年后, 我国人口不超过18亿, 那么人口年平 均增长率不应该超过多少 (精确到0.0)? 12. 某地西红柿从2月1日起开始上市. 通过市场调查, 得到西红柿种植成本Q (单位:元/102kg)与上 市时间t (单位:天) 的数据如下表: (1) 根据上表数据, 从下列函
15、数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系. Q=at+b, q=at2+bt+c, Q=alogbt. (2) 利用你选取的函数, 求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.,一、选择题(每小题只有一个正确选项) 1. 方程 x-1=lgx 必有一个根的区间是( ) (A) (0.1, 0.2) (B) (0.2, 0.3) (C) (0.3, 0.4) (D) (0.4, 0.5),思路:,f(a)f(b)0.,解:,设 f(x)=x-1-lgx.,检验各选项:,f(0.1)=0.1-1-lg0.1,f(0.5)=0.5-1-lg0.5,=0.10,=0.5-lg5,0,f(0.3)=0.3-1-lg0.3,=0.3-lg3,0,f(0.2)=0.2-1-lg0.2,=0.2-lg2,0,f(0.1)f(0.2)0.,A,2. 函数 y= 与函数 y=lgx 的图象的交点的横坐标 (精确度0.1) 约是 ( ) (A) 1.3 (B) 1.4 (C) 1.5 (D) 1.6,分
