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1、新课导入,在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50年100年编成的九章算术，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法,求下列方程的根： (1)2x-1=0 ； (2)x2-2x-3=0.,方程x-x=0的根怎么求？,回顾旧知，发现问题:,问题1,问题2,教学目标,知识与能力,掌握函数零点的概念；了解函数零点方程根的关系；会判断函数是否存在零点.,过程与方法,由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的
2、一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想.,情感态度与价值观,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，在数学教学中培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力,教学重难点,重点,函数零点与方程根之间的关系；函数在某区间上存在零点的判定方法.,难点,发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法.,下列一元二次方程及其相应的二次函数图象有什么关系？,方程,x2-2x+1=0,x2-2x+3=0,y= x2-2x-3
3、,y= x2-2x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x2-2x-3=0,y= x2-2x+3,对于一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？,动脑思考一下,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象,判别式 = b24ac,0,=0,0,函数的图象 与 x 轴的交点,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等 的实数根x1 、x2,函数的零点
4、定义：,对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.,零点指的是一个实数.,知识要点,二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根有什么关系?,思考,零点的求法,等价关系,对任意的方程f(x)=0与函数y=f(x),知识要点,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)的图象与x轴有交点,函数y=f(x)有零点,代数法,图像法 或几何法,1.通过求方程的根来找出函数的零点,2.利用函数图像的性质找出函数的零点,1.前面问题2：方程-x-x=0的根怎么求？,解：令f(x)= -x-x，做出函数f(x)的图像，如下：,可知函数图像与x轴有交点，所以说方程的 -x-x
5、=0的根是x=1.,解：令f(x)=x23x5, 作出函数f(x)的图象，如下：它与x轴有两个交点，所以方程x23x50有两个不相等的实数根.,2.方程x23x50有根吗？有几个；,分析：求方程的根就是看其相应函数与x轴的交点.,解：2x(x2)3可化为 2x24x30， 令f(x)= 2x24x3 , 作出函数f(x)的图象,如下：它与x轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根.,3.方程2x(x2)3有根吗？有几个；,分析：看方程有根否就是看其相应函数与x轴的有无交点.,解：x2 4x4可化为x24x40，令f(x)= x24x4，作出函数f(x)的图象，如下：它与x轴只有一个交点，所以
6、方程x2 4x4有两个相等的实根.,4.方程 x2 4x4有根吗？有几个.,其实就是考虑f(x)=0的根的情况；,回顾思考,求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点.,有,有,有,观察1,0,1,2,3,4,5,-1,-2,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,x,y,观察2,观察二次函数 的图像,有,2. 在区间2,4上_（有/无）零点；,有,若函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点. 即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.,
7、知识要点,勘根定理,思考,（1）若只给条件f(a)f(b)0能否保证在(a,b)有零点？,（2）函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线：且f(a)f(b)0，是否在(a,b)内函数就没有零点？,看以下图像,若函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线：且函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)f(b)0？,函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线：,结论,（1） f(a)f(b)0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；,如果函数 y=f(x) 在a,b上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b
8、)0,且是单调函数那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点.,解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.13）,例1 求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数,并指出零点所在的大概区间.,4,1.3069,1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,f（x）,表3-1,图3.13,由于函数f(x)在定义(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点.,说明这个函数在区间(2,3)内有零点.,例2 如图是一个二次函数y=f(x)的图像 （1）写出这个二次函数的零点； （
9、2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较f(-4)f(-1),f(0)f(2)与0的大小关系.,分析:先观察图像找出零点,然后把零点代入二次函数的一般式求得这个函数的解析式.,1函数零点的定义. 2三个等价关系. 3函数的零点或相应方程的根的存在性以及 个数的判断.,课堂小结,若是一元一次或一元二次方程,用公式法, 且确定了根的值 图象法：函数y=f(x)图象与x轴有交点 方程f(x)=0有实数根,4.确定方程f(x)=0的根存在性的方法,利用函数性质：,若函数y=f (x)在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线,且f (a)f (b)0,则函数y=f (x)在区间(a, b)内有零点
10、. 即存在c (a, b),使得f (c)=0,这个c就是方程f (x)=0的根.,勘根定理,高考链接,课堂练习,y=-x2-x+20； (2)y=x3-2x2 -x+2.,1.求下列函数的零点:,求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点,解：（1）令-x2-x+20=0，则解得方程的根 为x=-5,x=4,所以此函数的有两个零点 是x=-5,x=4. （2）令x3-2x2 -x+2=0，则解得方程的根为 x=2,x=1,x=-1,所以此函数有三个零点 分别是x=2,x=1,x=-1.,(3)y=lg(x-1),解：令lg(x-1)=0,这个方程的
11、根为 x=2，所以说此函数的零点是x=2.,2.函数y= f(x)在区间a, b上的图象是连续不断的曲线，且f(a) f(b)0，则函数y=f(x)在区间（a,b）内 （ ） A.至少有一个零点 B.至多有一个零点 C.只有一个零点 D.有两个零点,A,3若方程,在,内恰,的取值范围（ ）,有一解，则,A. a1 C. -1a1 D. 0a1,B,4.函数f(x)=lnx-2/x的零点所在的大致区间（ ）,A. (1,2) B. (2,3) C. (1,1/e)和(3,4) D. (e,+),B,分析：判断区间（a,b）是否为f(x)零点所在的区间，只要判断f(a).f(b)0 所以f(2).
12、f(3)0, 所以f(x)在（2，3）内有零点. 选B.,5.若函数y=f(x)的图象是连续不断的，且f(0)0， f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是 （ ） A.函数f(x)在区间（0，1）内有零点 B.函数f(x)在区间（1，2）内有零点 C.函数f(x)在区间（0，2）内有零点 D.函数f(x)在区间（0，4）内有零点,D,6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?,7.函数y=| log2|x|-1|有几个零点?,解：令| log2|x|-1|=0，则方程有几个根就有几个零点由此得到方程有两个根分别是x=+2，x=-2,所以函数有两个零点
13、.,6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?,6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?,6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?,1.（1）令f(x)=-x2 +3x+5,做出函数f(x)图像，它与x轴有两个交点，所以说方程)-x2 +3x+5=0有两个不相等的实根.,（2）2x(x-2)=-3可化为2x2 -4x+3=0,令f(x)= 2x2 -4x+3,做出函数f(x)图像，它与x轴没有交点，所以说方程2x(x-2)=-3无实根.,教材习题答案,（3）x2 =4x-4可化为x2
14、 -4x+4=0,令f(x)= x2 -4x+4,做出函数f(x)图像，它与x轴只有一个交点（相切），所以方程x2 =4x-4有两个相等的实数根.,（4）5x2 +2x=3x2 +5,可化为2x2 +2x-5=0,令f(x)=2x2 +2x-5,做出函数f(x)图像，它与x轴有两个交点，所以方程5x2 +2x=3x2 +5有两个不相等的实数根.,2.（1）做函数图像，因为f(1)=10, f(1.5)=-2.8750.所以f(x)=- x3 -3x+5在区间（1，1.5）上有一个零点又因为f(x)是（-，+ ）上的减函数，所以f(x)=- x3 -3x+5在区间（1，1.5）上只有一个零点.,
15、（2）做出函数图像，因为f(3)0.所以f(x)=2x.ln(x-2)-3在区间（3，4 ）上有一个零点又因为f(x)是（2，+ ）上的增函数，所以f(x)在（2，+ ）上有且仅有一个（3，4）上零点.,（3）做出函数图像，因为f(0)0.所以f(x)= ex-1 +4x-4在区间（0，1 ）上有一个零点又因为f(x)是（- ，+ ）上的增函数，所以f(x)在（ - + ）上有且仅有一个零点.,（4）做出函数图像，因为f(-4)0，f(2)0.所以f(x)= 3(x+2)(x-3)(x+4)+x在区间（-4，-3 ），（-3，-2），（2，3）上各有一个零点.,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
