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1、1,School of Computer Science & Technology, BUPT,第五章 图灵机,A.Turing在1936年介绍了这样一个通用的计算模型，该模型具有以下两个性质 该模型的每个过程都是有穷可描述的； 过程必须是由离散的、可以机械执行的步骤组成。 图灵机是计算机的一种简单数字模型，尽管简单，但它具有模拟通用计算机的计算能力。 通过研究TM来研究递归可枚举集和部分递归函数 为算法和可计算性研究提供了形式化描述工具。,2,School of Computer Science & Technology, BUPT,主要内容,TM的基本定义 TM的格局 TM接受的语言 TM
2、的构造技术 TM的变形； 重点: TM的定义、TM的构造。 难点: TM的构造。,3,School of Computer Science & Technology, BUPT,读写头在每一时刻扫描带上的一个单元 带有一个最左单元，向右则是无限的。 带的每个单元可容纳一个带符号 开始时，最左边n个单元装着输入（n0，n为有限数），它是一个字符串，符号都选自“带符号”的一个子集，即所谓的“输入符号集合”。余下的有穷个单元都存放空白符，它是一个特殊的带符号，但不是输入符号。,图灵机的基本模型,4,School of Computer Science & Technology, BUPT,在一个图灵
3、机的动作中，图灵机根据带头（读写头）所扫描的符号和有限控制器的状态可能作 改变状态 在被扫描的带单元上重新写一个符号，以代替原来写在该单元上的符号. 将带头向左或者右移一个单元。 * 图灵机和双向有限自动机的区别：图灵机能改变它带上的符号。,图灵机的工作机制,5,School of Computer Science & Technology, BUPT,图灵机的形式化描述,有限状态集 有限输入符号集 有限带符号集 转移函数 开始状态 特殊带符:空白符 终态集合,q0 Q T B T F Q,转移函数 : Q Q L,R ,形式定义 一个图灵机 TM (Turing machine) 是一个七元
4、组 M = (Q, T, , , q0 , B , F ).,6,School of Computer Science & Technology, BUPT,函数示例： Q QL ,R (q,ai)=(p,B,L) q, p Q (q,ai)=(p,b,R) ai b 格局 用w1q w2描述图灵机的瞬间工作状态 q为M的当前状态， w1w2 * w1w2是当前时刻从开始端（因为可写）到右边空白符号为止的内容 当读写头已达到带的右端，则w1w2为读写头以左的内容。 约定：w1q w2表示读写头正扫描w2的最左字符 w2 则表示读写头正扫描一个空白字符。,图灵机的函数与格局,7,School o
5、f Computer Science & Technology, BUPT,图灵机的格局,给定图灵机 M = (Q, T, , , q0 , B , F ) ，定义格局之间的推导关系M 如下： 1. 设 (q, Xi ) = (p, Y , L )，则有 X1X2Xi-1qXiXi+1Xn M X1X2Xi-2pXi-1YXn ， 但有如下两个例外 ： （1）i=1时， qX1X2Xn M qYX2Xn ，和 （2）i=n及 Y=B 时， X1X2Xn-1qXn M X1X2Xn-2pXn-1 B. 2. 设 (q, Xi ) = (p, Y , R )，则有 X1X2Xi-1 q XiXi+
6、1Xn M X1X2Xi-1Y p Xi+1Xn ， 但有如下两个例外 ： （1）i=n时， X1X2Xn-1q Xn M X1X2Xn-1Y p B ，和 （2）i=1及 Y=B 时， q X1X2XnM B p X2Xn-1Xn.,8,School of Computer Science & Technology, BUPT,图灵机接受的语言,L(M) = T*且q0* 1 p 2 ,pF, 12* 图灵机接受的语言是输入字母表中这样一些字符串的集合，初始时，这些字符串放在M的带上，M处于状态q0，且M的带头处在最左单元上，这些字符串将使M进入某个终止状态。 假定： 当输入被接受时，图灵机
7、将停止，没有下一个动作。,9,School of Computer Science & Technology, BUPT,任给图灵机 M = (Q, T, , , q0 , B , F ) ，以及输入字符串wT*. 试问：对于w，M 是否停机？ 停机是指图灵机不存在下一个移动步（move）. 结论 图灵机的停机问题是不可解的（即不可判定的）. 结论 任给图灵机 M ，很容易构造一个图灵机 M，使得L(M)= L(M )，并满足：如果wL(M) ，则对于 w，M 接受w并一定停机. 如果没有特别指出，总是假定图灵机到达终态（接受态）后一定停机. 但是 ，对不能接受的字符串，图灵机可能永不停止.（
8、只要M还在某个输入上运行，我们无法知道是因为运行的时间不够长而没有被接受，还是根本就不会停机）,图灵机的停机问题,10,School of Computer Science & Technology, BUPT,图灵机举例,例1：设语言 L=an bnn=1，设计图灵机接受L 。 思路：最初带上为 a a a b b b B B B n个a n个b 首先用x替换M最左边的a，再右移至最左边的b用y替换之，左移寻找最右的x，然后右移一单元到最左的a，重复循环。 如果 （1）当在搜寻b时，M找到了空白符B，则M停止，不接受该串。 （此时，a的个数大于b的个数） （2） 当将b改为y后，左边再也找不
9、到a，此时,若右边再无b，接受；若仍有b，则b的个数大于a的个数，不接受。,11,School of Computer Science & Technology, BUPT,例1 L=an bnn=1,(q0 ,a)=(q1 ,x,R) (q0 ,y)=(q3 ,y,R) (q1 ,a)=(q1 ,a,R) (q1 ,y)=(q1 ,y,R) (q1 ,b)=(q2 ,y,L) (q2 ,a)=(q2 ,a,L) (q2 ,y)=(q2 ,y,L) (q2 ,x)=(q0 ,x,R) (q3 ,y)=(q3 ,y,R) (q3 ,B)=(q4 ,B,R),例：aabb的接收格局序列 q0aab
10、b xq1abb xaq1bb xq2ayb q2xaybxq0aybxxq1yb xxyq1bxxq2yyxq2xyyxxq0yyxxyq3yxxyyq3Bxxyyq4,12,School of Computer Science & Technology, BUPT,对于输入字符串001122，该图灵机可以有如下推导步：,q0001122,M,Xq101122,M,X0q11122,M,X0Yq2122,M,X0Y1q222,M,X0Yq31Z2,*M,q3X0Y1Z2,M,Xq00Y1Z2,*M,XXYYZq22,M,XXYYq3ZZ,*M,Xq3XYYZZ,M,XXq0YYZZ,*M,X
11、XYYq4ZZ,M,XXYYZq5Z,M,XXYYZZq5B,M,XXYYZZBq6B,例2 L = 0n1n2n n 1.,13,School of Computer Science & Technology, BUPT,转移图与转移表,14,School of Computer Science & Technology, BUPT,作为整数函数计算机的图灵机,预备知识：图灵机除了作为语言接受器外，还可看作整数到整数的函数计算机。 传统方法把整数表示成一进制 整数 i 0 用字符串 0i 表示 如果一个函数有k个自变量，i1,i2 ,ik，那么这些整数开始时被放在带上，并用1把他们分隔开。
12、形如 0i1 1 0i2 1 0i3 1 0ik 如果图灵机停止(不论是否在一个接受状态上)且带上为 0m，则 f(i1,i2,ik)= m f是被图灵机计算的k元函数 如果f（i1,i2,ik）对所有i1,i2,ik有定义, 那么称f是一个全递归函数。全递归函数对应于递归语言，因为它总是被能停下来的图灵机所计算。 所有常用的整数算术函数都是全递归函数。,15,School of Computer Science & Technology, BUPT,例3：设计图灵机求真减法,思路： 1. 用空白符B代替带上的最左端的0 2右移至紧跟1后的0,将其改为1 3左移找到B，将B之后的0改为B 4重
13、复上述过程 如果（1）右移找0时，遇到B，意味着mn BBB 0 m-(n+1) 1 111 n+1 n个 将后面n+1个1变为B，将左侧最后一个B变0，形如 BBB 0 0 m-(n+1) BBB n个 n+1个 这时，带上留下m-n个0，即结果为m-n,初始带 0m 10n,16,School of Computer Science & Technology, BUPT,求真减法（续）,(2) M左移找不到0，意味着 n m，形如 BBB 1 111 00 m个 m个 n-m个 此时, 用B替换所有剩余的1 和0,17,School of Computer Science & Techno
14、logy, BUPT,例4：L= 0 m m=2n, n 0,设计思路：对输入串w 1. 从左到右扫描带，隔一个消一个0； 2若带上只剩唯一一个0,接受； 3若带上不止一个0,且个数为奇数，拒绝； 4让读写头返回带的最左端； 5. 转第一步。,18,School of Computer Science & Technology, BUPT,识别 L= 0 m m=2n, n 0的图灵机,19,School of Computer Science & Technology, BUPT,课堂练习,设计一个状态数不超过3的图灵机，它能够接受语言L=a(a+b)* ，若假定T=a,b,两个状态的图灵机
15、能否接受该语言？,20,School of Computer Science & Technology, BUPT,5.2 图灵机的构造技术,在设计图灵机的过程中，写出函数很麻烦，为了构造复杂的图灵机，需探讨图灵机的若干构造技术，并引入一些新的概念和工具。 目的：设计时方便，但这些构造技术并未增加图灵机的功能。,21,School of Computer Science & Technology, BUPT,5.2.1. 利用带存储区的状态（storage in the state）,此类图灵机 M = (Q, , , , q0 , B , F ) 中，状态中可以包含 一个具有有限个取值的存储单元，即状态集合为 Q = ST = q,a | qS aT ， 其中 qS 通常表示控制状态，而 aT 通常表示数据元素. 一般情况下，有限控制器内允许存储n个字符，即状态的第2个元素可存储n个字符。,22,School of Computer Science & Technology, BUPT,例：设计一个图灵机，读写头将扫视第一个字符存入有限控制器内，然后扫视整个带，若找不到与第一个相同的字符，则M接受该字符串，否则不接受。 构造M=(Q,a,b,a,b,B,q0
