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1、土 工数值分析 有限元法在岩土工程中的应用,河海大学 岩土工程研究所 朱俊高,1.概述,朱伯芳有限单元法原理与应用：有限单元法是在六七十年代发展起来的强有力的数值分析方法，它使许多复杂的工程问题迎刃而解，而且由于前后处理技术的发展，计算效率非常高，实际应用越来越广泛。,有限元（Finite Element Method Finite Element Modelling - FEM),一、有限元简介,1.概述,有限元方法把系统（结构）看作是由无限多个单元组成的连续体，在解这一连续体时将连续体离散化，然后将物理方程、平衡方程、几何方程结合起来，变换为求解线性方程组问题。单元与单元之间只通过结点连接
2、 有限元分析可概括为六个步：,有限元基本思想,1.概述,物理方程,有限元基本思想,平衡方程,几何方程,1.概述,有限元分析可概括为六步： 1. 结构的离散化：将分析结构系统划分成有限个单元体，并在单元体的指定点设置节点，把相邻的单元体在节点处连接起来组成单元的集合体，以代替原来的结构。一般情况，单元划分越细则表述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大。 2. 选择位移模式：位移模式，就可导出用节点位移表示单元内任意点位移,有限元基本思想,1.概述,3. 建立单元结点力和结点位移之间的关系,有限元基本思想,1.概述,4. 计算结点荷载(包括集中力、面力、体积力) 5. 集合所有单元的刚度
3、方程，建立整个结构的平衡方程,有限元基本思想,6. 方程组求解,（1）用离散结构代替原结构：离散结构由许多 单元体组成，各单元只在结点处有力的联系。 （2）荷载简化到结点上，R （3）由sDK （4）解线性方程组 K=R （5）由位移应变应力s （6）对非线性问题，需重复（3）-（6）步。,有限元基本步骤,非线性：材料非线性与几何非线性,1.概述,（1）平面（应力、应变）有限元：三结点、四结点、6结点、8结点 （2）轴对称有限元 （3）三维有限元,有限元类型,（1）总应力法 （2）有效应力法,二、有限单元法（FEM）的优点及应用情况,可用于非均质问题，多层土、多种材料、多区域； 可用于非线性材
4、料，各向异性材料； 可适应复杂边界条件； 可用于各种类型的问题：应力变形、渗流、固结、流变、湿化变形、动力、温度问题等。,优点：,缺点：,单元形态对计算结果影响较大； 计算比较复杂、麻烦；计算模型、参数对结果影响大； 非连续性问题困难；,岩土工程正是存在上述问题，因此，有限元得到了广泛地应用。在水利工程中常见的是土石坝，随着筑坝技术的不断提高，土石坝已经向300米级高坝发展。高土石坝一般不是均质坝，如有心墙、砼防渗墙、砼面板，墙、板等的受力与土体变形是联系在一起的，相互作用，相互影响，基坑的支护问题，边坡稳定问题，地下洞室，地基基础，隧道盾构施工等。,材料本身不是弹性材料，边界条件十分复杂，解
5、析解是不可能的。只有依靠数值解。,对土工建筑物进行有限元分析的目的：,了解整个结构的位移场和应力场，从而，位移的分布、大小，应力集中的部位，塑性区的大小、范围，为设计及采取相应措施提供依据。 稳定性实际上是首先得到应力位移场，再分析处理。,例一：砼面板坝,面板是受拉？受压？（顺坡向） 面板哪些部位受压？ 面板哪些部位受拉？,上游立视,例二：土质心墙堆石坝,糯扎渡、双江口 拱效应,例三：三峡二期围堰,一道？ 塑性混凝土？,例四：基坑工程,开挖问题,例五：边坡工程,1、极限平衡法； 2、强度折减法,第二章 土体应力计算,土工有限元需特殊处理的问题：,（1）本构关系选用，模型参数的确定； （2）计算
6、方法：非线性分析方法、特殊问题（单元破坏、湿化、分期施工、接触问题）的处理。,有限元计算分析：总应力法和有效应力法；都有线弹性和非线性分析之分。 对透水性强的地基或土工建筑物，可用总应力法进行计算；但由于该法较简单，也常用于分析饱和粘土的应力变形。 一般情况下，饱和粘土地基或土工建筑物，较严密的方法为有效应力法。,2.非线性分析方法,（1）用离散结构代替原结构 离散结构由许多单元体组成，各单元只在结点处有力的联系。 （2）荷载简化到结点上，R （3）由s DK （4）解线性方程组 K=R （5）由位移应变应力s （6）对非线性问题，需重复（3）-（6）步。,一、有限元基本步骤,土体在未达到其极
7、限状态之前的使用荷载作用下，应力水平较低，可以近似当作线性弹性体看待。对有些土，即使应力水平较低，应力应变关系也具有明显非线性，这时，应进行非线性分析。 对于非线性材料： 试验确定非线性的应力应变关系，即本构关系,应力应变关系非线性表现为有限元中荷载与变形的非线性，R非线性；,非线性问题包括物理非线性（材料非线性）和几何非线性（大应变）。物理非线性是指土的本构关系是非线性的，而应变与位移的关系是线性的；土体在荷载作用下的位移与其几何尺度相比很小，因而在求出位移场后，可以用某单元原来的尺寸计算应力场。土力学中大多数问题属于物理非线性范畴。几何非线性表示单元体的几何性状的有限变化，将引起位移很大的
8、变化。应变与位移的关系不再是线性的。除非象泥炭或吹填土等的应变量达到30以上，否则一般不需要作几何非线性分析。,在有限元计算中，实现这种非线性的方法是迭代法、增量法或增量迭代法。 求解非线性问题的关键在与确定能反映土体变形特性的本构关系，并合理准确地确定模型参数。,迭代是指一系列逼近正确解的递推计算。每次迭代中，土体受全部荷载的作用，因此，又称为全量迭代法。,二、迭代法,每一步迭代相当于进行一次线性分析，即根据弹模、泊松比（割线方法确定）形成DK解出位移、应变、应力，再确定新的弹模、泊松比。,L次迭代 （1）L-1 非线性 L-1 （2）EsL、VsLDL （3）KL （4）KLL=R （5）
9、LLL,（一）、割线迭代法,余量迭代法是先将总荷载施加于结构作一次有限元计算，解得的应变在非线性关系上所对应的应力一般地与外荷载是不平衡的。则从总荷载中扣除计算应力所平衡了的那部分荷载，仅将剩余荷载施加于结构作迭代计算。 1、切线迭代； 2、常劲度迭代,L次迭代 （1）L-1Et、VtDL （2）DLKL （3）L-1FL-1RL-1 （4）DRL=RL-RL-1 （5）KDL=DRL （6）DLDLL=L-1+ DL （7） L 由非线性关系 L,（二）、余量迭代法,2、常劲度迭代,L次迭代 （1）L-1Et、VtDL （2）DLKL （3）L-1FL-1RL-1 （4）DRL=RL-RL-
10、1 （5）KDL=DRL （6）DLDLL=L-1+ DL （7） L 由非线性关系 L,（二）、余量迭代法,将非线性的关系用初应力0的变化来实现。,（三）、初应力迭代法,用初应力法迭代求解非线性方程组实际上就是设想有一个初应力0，使其非线性的应力应变关系 与线性的应力应变关系 0等效（如图）。其中， 为弹性应力。事实上，前一种关系式是真实的，而后一种线性关系式是假想的，只有将0调整到适当值时，两者才能等效。调整0使得非线性方程组得到求解的方法即初应力迭代法。,（三）、初应力迭代法,将非线性的关系用初应力0的变化来实现。,（三）、初应力迭代法,步骤：（L次） (1) 求初应力 (2) 求 ，
11、(3) 求 (4) 由 可求L，从而求出 和 （由非线性的求） (5) 由 求 ， ； (6) 比较 与 ，直至两者接近，否则，重复（1）（6）,2、初应变法 用初始应力0确定初始D1K1， K=R解得1 11*1D（弹性应力）；再根据1由非线性应力应变关系可求得1。,2、初应变法,步骤：（L次） (1) 求初应力 (2) 求 ， (3) 求 (4) 由 可求L，从而求出 和 （由非线性的求） (5) 由 求 ， ； (6) 比较 与 ，直至两者接近，否则，重复（1）（6）。,前面介绍的方法都是荷载施加到结构，引起应力和变形。实际上，对土工结构，除了荷载因素引起结构变形外，温度、蠕变、湿化（湿
12、陷）等因素也可引起结构的变形。这时，一般采用“初应变”法迭代求解结构变形与应力场。而把这种非荷载因素引起的结构应变称为“初应变”。 求初应变：如蠕变，要使结构产生这么大应变，应施加的荷载：,1、试验方法 2、理论方法（如邓肯张模型）,（五）真实应力应变关系的确定,迭代法困难： 要有全量的关系（有唯一性）才能进行，不能反映应力路径影响，试验是在特定的应力路径下进行，曲线不能作为迭代收敛的依据。 再说试验曲线是轴对称试样关系，与平面、三维情况不同。,增量法是将全荷载分为若干级微小增量，逐级用有限元法进行计算。对于每一级增量，在计算示 （一）基本增量法 荷载分成若干级,三 增量法,（一）基本增量法,
13、步骤： （1）L-1DL （2）DLKL （3）KLL= RL （4） （5）求=，=，=,三 增量法,（二）中点增量法 对每级荷载先用基本增量作一次试算，得出应力后，求该级平均应力，用平均应力对应的E、v作一次修正计算，作为结果。 L级增量的步骤： (1)(5)同基本增量法 (6)L=(L-1+L)/2 (7)LDLKL (8)KLL=RL (9)由 (10)=，=，=,(三)增量迭代法 对每一级增量,用某一种迭代法计算多次,直至收敛。可用常劲度迭代法. 也可将中点增量法重复多次。,四、弹塑性计算 用增量法计算 关键先要判断加、卸载 加载Dep 卸载D 1判别所依据的应力状态 （1）依据前一级到本级的变化 依据前一级初始应力变化到本级初始应力，实际上依据前级初始与终了两个应力状态来判别（可用基本增量法）。 （2）依据本级初始与终了应力状态的变化 必须先作一次试算，近似确定本级终了应力状态，才可确定正式计算用加载公式还是卸载公式。（中点增量法）,2由应力状态变化确定加、卸载存在三种可能： （1）在屈服面以内 用D （2）在屈服面以外 用Dep （3）由以内到以外 a.对整个当前荷载增量，对该单元都用Dep b.将其分成两段，分别用D和Dep BFD FEDep,B：0 E：=0+ BF： BE： = 可以利用三个
