《2018年优课系列高中数学北师大版选修2-1 3.1.1椭圆及其标准方程 课件（44张） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年优课系列高中数学北师大版选修2-1 3.1.1椭圆及其标准方程 课件（44张） （44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 圆锥曲线与方程 1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程,椭圆的汽车徽标,月球的运行轨道,椭圆的盘子,椭圆的镜子,篮球在阳光下的投影,从这些图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形.而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么如何确切的描述椭圆呢？我们能否动手画一个椭圆呢？,1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界 和在实际生活中的作用. 2.掌握椭圆的定义和标准方程.（重点） 3.掌握椭圆的标准方程的推导过程.（难点）,探究点1 椭圆的定义,对于篮球在阳光下的投影， 把太阳光看成一束平行光， 如图所示，照射在篮球上的平 行光线抽象为一个斜放的圆柱， 篮球面抽象为一个球面，球
2、心 记作O1，篮球面与地面的接触 点抽象为球与平面的切点F1， 影子恰好是圆柱面被平面斜截 的截面，截面的边界线称为椭圆.,O1,F1,对于上图所示的几何模型，把圆柱面延伸，在截面下面也放一个与圆柱面和截面都相切，且同样大的球，球心记作O2,该球与截面的切点为F2，如图所示.,O2,F2,F1,O1,两个球与圆柱面的切点分别 构成了两个圆，圆心分别是 球心O1,O2，若P为椭圆上一 点，过点P作圆柱的母线，分 别交O1O2于A,B两点，则PA, PF1是球O1的切线段，所以 PA=PF1，同理PB,PF2是球O2的切线段，所以PB=PF2，因此，PF1+PF2=AB.又AB=O1O2，由此可以
3、发现椭圆上的点到两切点的距离之和是定值O1O2.,O1,F1,F2,O2,动手操作： 将一条细绳的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.,提示：圆,思考1 将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在不同的两点F1，F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？,结论：笔尖画出 的轨迹是椭圆.,思考2：在画椭圆的过程中，,(1)细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 提示：固定的. (2)绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？ 提示：没变化.保持笔尖到两定点的距离和不变.
4、 (3)绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ 提示：三点M，F1，F2不共线时，构成三角形， 两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点 距离.,结合思考问题，你能给椭圆下一个定义吗？,椭圆的定义：,椭圆的定义的符号表示：,平面内到两个定点F1，F2的距离之和_ （大于|F1F2|）的点的集合叫做椭圆. 这两个 _叫做椭圆的焦点， 两个焦点间的距离叫做椭圆的_.,等于常数,定点F1，F2,焦距,2a2c0时，为椭圆.,思考3：椭圆定义中为什么要求 常数大于|F1F2|(即2a2c)？,提示：当|MF1|+|MF2|=2a=|F1F2|时,当|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|时,只有当
5、2a|F1F2|时动点M的轨迹才是椭圆.,动点M的轨迹为以F1，F2为端点的线段；,动点M的轨迹不存在;,如何用方程来表示椭圆呢？,探究点2 椭圆的标准方程,如图，作直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线,设P为椭圆上一点，根据椭圆的定义，P关于这两条直线的对称点也都在椭圆上，即这两条直线是椭圆的对称轴. 以直线F1F2为x轴，线段 F1F2 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,则焦点F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0).,根据椭圆的定义和椭圆的对称性, 且 所以 即,得A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b),如图椭圆和x轴，y轴分别有两个交点A1，
6、A2和B1，B2，,设P（x , y)是椭圆上任意一点，,因为,所以,两边平方、整理，得,上式两边平方、整理，得,由椭圆的定义，椭圆上的点P 满足,即,两边同除以a2b2得,这说明椭圆上的点的坐标满足以上方程.我们还可 以证明，这个方程每一组解对应的点都在椭圆上.,抽象概括：,我们将方程,叫作椭圆的标准方程，,焦点坐标是,如果椭圆的焦点在y轴上，如图，其焦点坐标为,用同样的方法可以推出 它的标准方程为,其中,y,O,x,F1,F2,M,(0,-c),(0 , c),总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式,焦点在y轴：,焦点在x轴：,3.椭圆的标准方程:,图 形,方 程,焦 点,F(c，0
7、),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0),定 义,注:,共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.,不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.,练习1.下列方程哪些表示椭圆？,若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标.,?,(2)焦点在x轴，焦点坐标（-3,0），（3,0）,(3)焦点在x轴，焦点坐标（-1,0），（1,0）,2.回顾椭圆方程的求解过程，有哪些主要步骤？,第一步：根据椭圆的对称性建立坐标系；,提示：,第二步：设出椭圆上任
8、意一点；,第三步：把椭圆定义用等式表示；,第四步：把等式中的距离用坐标表示；,第五步：把得到的方程化简；,第六步：说明椭圆上点的坐标适合所求方程，以方程的解为坐标的点都在椭圆上.,思考交流,O,x,y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),提示：在椭圆的方程中，由,可见，当a为定值时，随c的增大，b减小，椭圆变扁； 随c的减小，b增大，椭圆越接近于圆.,1.当椭圆定义中的常数 2a为定值时，焦距2c的 变化与椭圆形状的变化有怎样的关系？,即随着焦距2c的增大，椭圆变扁；焦距减小，椭圆越接近于圆.,【解析】由已知,得,由定义可知点A的轨迹是一个椭圆，且,即,所以,如图，建立平面直角坐标系，
9、使x轴经过B,C两点，原点O 为BC的中点.,提醒：求点的轨迹问题，要结合具体的情况剔除不满足条件的点.,B,C,A,当点A在直线BC上，即y=0时，A，B，C三点不能构成三角形，因此点A满足的一个轨迹方程是,例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别为,并且经过点,求椭圆的标准方程.,【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为,解法1 由椭圆的定义知,所以,又,所以椭圆的标准方程为,解法2 因为点,在椭圆上，又c=2，得,解得,所以椭圆的标准方程为,【变式练习】,求经过点,的椭圆的标准方程.,解析：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆方程为,将,的坐标代入椭圆方程，得,解得,与,矛盾，舍去.,当椭
10、圆的焦点在y轴上时，设椭圆方程为,解得,故所求的椭圆方程为,【提升总结】,求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定a，b的值，写出椭圆的标准方程.,将,a,O,M,y,x,证明:将点M的坐标代入方程 有,例3 求证：,的几何意义如图所示.,1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8， 则动点P的轨迹为（ ）,A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹,B,2.已知椭圆的标准方程为 ,则焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(0,1),C,C,4.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-3)(0,3)，椭圆上的点P到两焦点距离的和等于8.求椭圆的标准方程.,解析:由题意知椭圆的焦点在y轴上，故可设椭圆的 标准方程为,由题意， ，,所以，,椭圆的标准方程为,求椭圆标准方程的方法,求美意识， 求简意识，前瞻意识,不要只因一次失败，就放弃你原来决心想达到的目的。 威廉莎士比亚,
