《2018-2019版数学高二同步系列课堂讲义选修4-5北师大版课件：第二章 几个重要的不等式2.3.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019版数学高二同步系列课堂讲义选修4-5北师大版课件：第二章 几个重要的不等式2.3.2 （31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 数学归纳法的应用,1.利用数学归纳法证明不等式 利用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式.尤其是第二步:一方面需要我们充分利用归纳假设提供的“便利”,另一方面还需要结合比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等其他不等式的证明方法. 2.贝努利不等式 对任何实数x-1和任何正整数n,有(1+x)n1+nx.,名师点拨 在用数学归纳法证明不等式的问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对
2、不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构.,【做一做】 用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)= (nN+),第一步验证当n=1时,左边应取的项是( ) A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 解析:当n=1时,左边是1+2+3+4,是由1加到n+3,故选D. 答案:D,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若nN+,且n2-1,x0,则有(1
3、+x)41+4x.( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析找准n0,看左边是多少项,从n=k到n=k+1时添了什么项,少了什么项,加上n=k时的假设.从而证明n=k+1时不等式成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 利用数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,因此需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学
4、归纳法证明不等式时常用的方法之一. (2)数学归纳法的应用通常需要与其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析证明当n=k+1时不等式成立的关键是利用好n=k成立时的假设以及n=k+1时不等式的恰当变形.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 利用数学归纳法证明数列中的不等式问题的基本策略 (1)掌握好数学归纳法证明问题的基本步骤以及数列的有关知识,这是解决这类问题的基础. (2)这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的式子是
5、直接给出,有时是根据条件从前几项入手,通过观察、猜想,归纳出一个式子,然后再用数学归纳法证明.在证明过程中,要注意递推关系式的利用以及正整数n的性质.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析用求商比较法证明an+1an,其中要用贝努利不等式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 在贝努利不等式(1+x)n1+nx中xR,且x-1,nN+.将待证不等式转化为贝努利不等式的形式是证明的关键.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3已知acdb0,a+b=c+d,n为大于1的正整数,求证:an+bncn+dn.,探究一
6、,探究二,探究三,思维辨析,不等式中的归纳、猜想、证明问题 【典例】设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,nN+. (1)当n=1,2,3,4时,比较f(n)与g(n)的大小; (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明. 【审题策略】 对于(1),可逐一计算进行比较;对于(2),可在(1)的基础上进行归纳推理,然后利用数学归纳法证明结论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【规范展示】解(1)当n=1时,f(1)=12=1,g(1)=(1+1)1=2,所以f(1)g(3). 当n=4时,f(4)=45=1 024,g(4)=(4+1)4=625, 所以f(4)g(4).,探
7、究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)由(1)可猜测,当n3,nN+时,f(n)g(n). 以下用数学归纳法证明该结论正确. 当n=3时,f(3)=34=81,g(3)=(3+1)3=64, 所以f(3)g(3),所以结论成立. 假设当n=k(k3,kN+)时,结论成立, 所以(k+1)k+2(k+2)k+1成立, 即f(n+1)g(n+1)成立. 所以当n=k+1时结论也成立. 由知,当n3,nN+时,f(n)g(n)成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【答题模板】 第1步:代入计算,逐一进行比较,得出具体结论. 第2步:进行归纳猜想,得到一般性结论. 第3步:证明初始值成立. 第4步
8、:假设当n=k时,结论成立得到归纳假设,并变形. 第5步:证明当n=k+1时结论成立. 第6步:证得结论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下: (1)第一问数据计算失误,得不出正确结果. (2)第二问中不能正确地利用归纳推理得出一般性结论. (3)用数学归纳法证明时,步骤不完整. (4)证明当n=k+1时结论成立时,不能正确地进行放缩,从而无法利用归纳假设而致误.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1,2,3,4,5,答案:C,1,2,3,4,5,答案:C,1,2,3,4,5,答案:8,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,当n=1时,21=212=1, 当n=2时,22=4=22, 当n=3时,23=852=25, 当n=6时,26=6462=36. 故猜测当n5(nN+)时,2nn2,1,2,3,4,5,下面用数学归纳法加以证明. (1)当n=5时,2nn2显然成立. (2)假设当n=k(k5,且kN+)时,不等式2nn2成立, 即2kk2(k5),则当n=k+1时, 2k+1=22k2k2=k2+k2+2k+1-2k-1 =(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2(因为(k-1)22). 由(1)(2)可知,对一切n5,nN+,2nn2成立.,
