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1、第一讲 坐标系,一 平面直角坐标系,1.坐标法 根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系,这就是研究几何问题的坐标法.,名师点拨用坐标法解决几何问题的步骤 1.建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题. 2.通过代数运算解决代数问题. 3.把代数运算结果翻译成几何结论.,2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换: 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.,名师点拨1.理解伸缩变换,应注意以下几点: (1
2、)0,0;(2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可以用点的坐标的伸缩变换得到;(3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,即在同一平面直角坐标系中进行伸缩变换.,2.伸缩变换对图形的影响. (1)由伸缩变换公式知 ,当01时,原图形上点的横坐标伸长为原来的倍;当01时,原图形上点的纵坐标伸长为原来的倍.(2)因为伸缩变换把直线变成直线,所以伸缩变换把多边形变成边数一致的多边形;伸缩变换不能实现曲线段与直线段的互变.换句话说,它不能把圆变成正方形.,做一做 (1)将一条射线作伸缩变换后得到的图形的形状可能是( ) A.射线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 (2)将点(2,3)变成点(3,2)
3、的伸缩变换是 . 解析：(1)射线在伸缩变换前后图形的形状不发生变化. (2)由题意知x=2,y=3,x=3,y=2.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)在平面直角坐标系中,线段通过伸缩变换后还是线段. ( ) (2)在平面直角坐标系中,通过伸缩变换可以把圆变成椭圆. ( ) (3)在平面直角坐标系中,通过伸缩变换可以把双曲线变成抛物线. ( ) (4)等腰三角形ABC的底边为AB,且A(-1,1),B(3,7),则顶点C的轨迹方程为x+2y-7=0. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,应用坐标法解决有关问题 【例1】求证:任意平面四边形
4、两组对边中点的连线及两条对角线的中点连线三线共点,且互相平分. 分析：建立坐标系,只需证明三条连线的中点的坐标相同即可. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系.设四边形各顶点的坐标分别为A(0,0),B(a,0),C(b,c),D(d,e).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,若点E,F,G,H,M,N分别为线段AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点,连接EG,FH,MN,则,由中点坐标公式求得线段EG,FH,MN的中点坐标都是,三条连线的中点的坐标完全相同,说明三条线段EG,FH,MN均相交于此点,且互相平分.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟建立平面直角坐标系的规律技巧 坐标系建
5、立的是否恰当,直接影响到方程的繁简.因此,在建立平面直角坐标系时,要尽量研究所给图形的对称性.若是轴对称图形,一般选取对称轴为坐标轴;若是中心对称图形,一般以对称中心为原点;若存在两条互相垂直的直线,一般以这两条直线为坐标轴. 总之,在建立平面直角坐标系时,原则是使尽可能多的点落在坐标轴上,有对称性的尽可能使它们关于坐标轴或原点对称.在解题时,注意不断归纳总结,积累经验方法,针对题设条件建立恰当的坐标系,使运算简便,求得的方程形式简单.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 在ABC中,OA是BC边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2). 证明：取BC边所
6、在的直线为x轴,线段BC的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. 设点A的坐标为(b,c),点C的坐标为(a,0),则点B的坐标为(-a,0). |AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2, |AO|2=b2+c2,|OC|2=a2, |AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2). 又|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2, |AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求曲线的轨迹方程 【例2】 已知线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动,且|AB|=4,求AB的中点P的轨迹方程. 分析：题目未给出坐标系,因此
7、,应先建立适当的平面直角坐标系,显然以互相垂直的两条直线分别为x轴、y轴最合适.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：(方法一)以两条互相垂直的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示. 设P(x,y),由于三角形OAB是直角三角形,点P为线段AB的中点,故点P的轨迹方程为x2+y2=4. (方法二)建立平面直角坐标系,同方法一. 又点P为线段AB的中点,所以x1=2x,y2=2y. 将其代入,得4x2+4y2=16. 故点P的轨迹方程为x2+y2=4.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求轨迹的常用方法 1.直接法.如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系,
8、那么可用求曲线方程的步骤直接求解. 2.定义法.如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,那么可依据定义写出轨迹方程. 3.代入法.如果动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1),而Q(x1,y1)又在某条已知曲线上,那么可先列出关于x,y,x1,y1的方程组,利用x,y分别表示出x1,y1,把x1,y1代入已知曲线方程即可求解. 4.参数法.动点P(x,y)的横、纵坐标用一个或几个参数来表示,消去参数即得其轨迹方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是 .,探究一,探究二,探究三,思维
9、辨析,平面直角坐标系中的伸缩变换 【例3】(1)在同一平面直角坐标系中,求将直线x-2y=2变成直线2x-y=4的伸缩变换; (2)在同一平面直角坐标系中,求曲线x2+y2=4经过伸缩变换 后的曲线的方程. 分析：利用伸缩变换公式代入求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,则点的坐标与曲线的方程间的关系为,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 后,曲线C变为曲线x2-9y2=1,求曲线C的方程. 解：将伸缩变换 代入方程x2-9y2=1, 得(3x)2-9y2=1, 整理得9x2-9y2=1. 故曲线C的方程为9
10、x2-9y2=1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对伸缩变换公式理解不清致误 典例在同一平面直角坐标系中,圆x2+y2=4,经过伸缩变换 后的图形分别是什么?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得点(x,y)在变换前的图形上,点(x,y)在变换后的图形上,因此点(x,y)的坐标满足变换前的图形对应的方程,点(x,y)的坐标满足变换后的图形对应的方程.错解中混淆了(x,y)和(x,y)的含义.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 在同一平面直角坐标系中,求方程x+y+2=0所对应的 图形经过伸缩变换 后的图形.,1 2 3 4 5,1.一条双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后
11、的图形的形状可能是( ) A.双曲线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 解析：双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,图形的形状是不会发生变化的. 答案：A,1 2 3 4 5,2.将点P(-2,2)变换为P(-6,1)的伸缩变换公式为( ),答案：C,1 2 3 4 5,3.已知动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M(2,2)的距离,则点P的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析：由于点M(2,2)在直线x+y-4=0上,而|PM|等于点P到直线x+y-4=0的距离,所以动点P的轨迹为过点M垂直于直线x+y-4=0的直线. 答案：A,1 2 3 4 5,4.已知函数f(x)= ,则f(x)的最小值为 . 解析：f(x)可看作是平面直角坐标系中x轴上的一点(x,0)到两定点(-1,1)和(1,1)的距离之和,结合图形可得,f(x)的最小值为2 .,1 2 3 4 5,5.在同一平面直角坐标系中,求下列曲线方程所对应的图形经过伸 缩变换 后的图形. (1)y2=7x;(2)x2+y2=1.,
