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1、3 解三角形的实际应用举例,1.实际测量问题中有关角的意义及图示.,【做一做1】2016年里约奥运会比赛会场,设立了很多安全检测点,已知检测点A和B与主会场O的距离相等.检测点A在主会场北偏东40,检测点B在主会场南偏东60,则检测点A在检测点B的( ) A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东10 D.南偏西10 答案:B,2.解决与三角形有关的实际问题的思路,【做一做2】已知江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45和30,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距( ),解析:如图,设CD为炮台,A,B为两条船, 由题意得,CD=30 m,CBD=45,
2、CAD=30,ACB=30. 在RtADC中,AC=30tan 60= (m). 同理,得BC=30 m. 在ABC中,AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB=900, 所以AB=30 m,即两条船相距30 m. 答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)视角是视线与水平线所成的角. ( ) (2)求一个可到达的点与另一个不可到达的点之间的距离可用正弦定理解决. ( ) (3)已知ABC中的两边及其夹角,求第三边的问题,只能用余弦定理解决. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,规范解答,【例1】 如图,隔河看
3、两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 千米的C,D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30, ADB=45(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离. 分析:先在ACD中,求出AC,再在BDC中,用正弦定理求出BC,最后在ACB中用余弦定理求出AB的长.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟求A,B两点之间的距离主要有以下三种类型:,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练1 如图所示,已知海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B,灯塔B位于灯塔A的正南方向,海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A的北偏西60方向,与A相距6海里的
4、C处;乙船位于灯塔B的北偏西60方向,与B相距10海里的D处,则两艘船之间的距离为 海里.,探究一,探究二,探究三,规范解答,【例2】 如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得BCD=,BDC=,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB. 分析:先在BCD中,用正弦定理求出BC,再在RtABC中求出AB. 解:在BCD中,CBD=-.,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟求高度问题通常有以下三种类型:,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练2 如图,在塔底B测得山顶C的仰角为60,在山顶C测得塔顶A的俯角为45,已知塔高为AB=20
5、m,求山高DC.(结果保留一位小数),探究一,探究二,探究三,规范解答,【例3】甲船在A处发现乙船在方位角45与A相距10 n mile的C处正以20 n mile/h的速度向南偏东75方向航行,已知甲船的速度是 n mile/h.问:甲船沿什么方向航行,需多长时间才能与乙船相遇? 分析:根据题意,画出图形,设出相遇地点,构建出三角形,设出相遇时所需时间,在三角形中,利用余弦定理构建出方程,解方程求出时间,通过解三角形,求出所需求的角,从而得到实际问题的解.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟1.对于确定目标的方位,观察某一建筑物的视角等问题,解决它们
6、的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是首先根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解. 2.对于本例还要注意相遇时两船航行的时间相等这一条件,应用余弦定理构建出方程是关键所在.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练3 如图,在点B处测得某建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30 m,至点C处测得顶端A的仰角为2,再继续前进10 m至点D,测得顶端A的仰角为4,求角的大小和建筑物AE的高.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,正
7、弦、余弦定理在三角形实际问题中的应用 【典例】如图,A,C两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某日上午8时从A岛出发,以10海里/小时的速度沿北偏东75方向直线航行,下午1时到达B处,然后以同样的速度沿北偏东15方向直线航行,下午4时到达C岛. (1)求A,C两岛之间的距离. (2)求BAC的正弦值. 分析:(1)要求A,C两岛之间的距离,可先求出ABC,根据条件求出AB与BC,利用余弦定理求出. (2)要求BAC的正弦值,可应用正弦定理.,探究一,探究二,探究三,规范解答,规范解答(1)在ABC中,由已知条件可得 AB=105=50(海里),BC=103=30(海里), ABC=180-75+15
8、=120. 由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos ABC, 即AC2=502+302-25030cos 120, 解得AC=70(海里). 所以A,C两岛之间的距离为70海里. (2)在ABC中,由正弦定理,得,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思提升1.图形的应用 需要画出题目所需的图形,结合图形,标出已知数据,将文字语言转化为图形语言,这样条件就会一目了然. 2.隐含条件的分析 解题时,要对题目的条件认真分析,找出一些限制或隐含条件,这往往是解题的关键,如本例中ABC的确定,就是解题的关键. 3.注意解题的完整性 解应用题步骤一定要完整,前面有解,后面有答,如本例,求解
9、后,一定要有答,把要解答的问题表述清楚、明白.,1,2,3,4,5,1.如图,已知某河段的两岸可视为平行的,在河段的一岸边选取两点A,B,观察对岸的点C,测得CAB=75,CBA=45,且AB=200米,则A,C两点间的距离为( ),答案:A,1,2,3,4,5,2.已知在200 m的山顶上,测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30,60,则塔高为( )m.,解析:如图,在RtCDB中,CD=200 m,BCD=90-60=30,答案:A,1,2,3,4,5,3.已知两座灯塔A,B与一岛C的距离都等于a km,灯塔A在岛C的北偏东20,灯塔B在岛C的南偏东40,则灯塔A与灯塔B的距离为 km.
10、解析:如图,ABC中, AC=BC=a km, ACB=120. 所以由余弦定理知 AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,1,2,3,4,5,4.已知一艘船向正北航行,看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东60,另一灯塔在船的南偏东75,则这艘船每小时航行 海里. 解析:如图,由题意知在ABC中,ACB=OCB-OCA=75-60=15,CBA=90-75=15,所以AC=AB=8海里. 在RtACO中,CAO=30,所以OC=ACsin 30=4海里,所以这艘船每小时航行 海里. 答案:8,1,2,3,4,5,5.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,求cos 的值.,1,2,3,4,5,
