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1、2.2 一元二次不等式的应用,1.分式不等式的解法 (1)分式不等式的概念及其标准形式 分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.各种分式不等式经过同解变形,都可化为标准形式 (0)(其中f(x),g(x)为整式且g(x)不为0). (2)分式不等式的解法 求解分式不等式的基本思路是将分式不等式的标准形式转化为整式不等式求解,将分式不等式转化为整式不等式的方法如下:,【做一做1】,A.x|x1 B.x|x2,答案:D,2.一元高次不等式的解法 (1)一元高次不等式的概念: 含有一个未知数,且未知数的最高次数高于2的整式不等式叫一元高次不等式. (2)用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)0的
2、步骤: 将f(x)最高次项的系数化为正数; 将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积; 将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过); 根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律,写出不等式的解集. 【做一做2】解不等式x(x+2)(x-3)0利用穿针引线法时,在x轴上所穿过的点依次是 ,不等式的解集为 . 答案:-2,0,3 x|x-2或0x3,3.一元二次不等式的实际应用 用不等式解实际应用题的步骤如下: (1)设未知数用字母表示题中的未知数; (2)列不等式(组)找出题中的不等量关系,列出关于未知数的不等式(
3、组); (3)解不等式(组)运用不等式知识求解不等式(组),同时要注意未知数在实际问题中的取值范围; (4)答规范地写出答案.,【做一做3】某校园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围. 解:设花卉带的宽度为x m(0x300), 则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m, 所以草坪的面积为(800-2x)(600-2x)m2. 依题意有(800-2x)(600-2x) 所以(400-x)(300-x)60 000, 整理得x2-700x+60
4、 0000. 解得x100或x600,又因为0x300, 所以x的取值范围是0x100. 答:花卉带宽度的范围应是0100 m(包括100 m).,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)不等式 与不等式(ax+b)(cx+d)0同解. ( ) (2)不等式ax2+bx+c0恒成立的条件为0. ( ) (3)不等式ax2+bx+c0恒成立的条件为0. ( ) (4)解不等式(-x+a)(x-b)(x-c)0时可用穿针引线法,即先在数轴上标出点a,b,c,再从数轴的右上方依次过每个点画曲线,然后观察数轴上方的曲线对应的x的范围. ( ) (5)一元二次不
5、等式ax2+bx+c0恒成立的条件为b2-4ac0. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,规范解答,分析:先把分式不等式化为标准分式不等式,再转化为整式不等式进行求解.,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟问题(2)中易出现直接把(x-2)乘到不等式的右边的错误.一般情况下,解分式不等式应先通过移项、通分、合并同类项将不等式的一边化为零,再转化为整式不等式进行求解.若已知分式的分母恒为正,此时才可以把分母乘到不等式的另一边.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练1 解下列不等式:,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规
6、范解答,【例2】 求下列不等式的解集; (1)x(x-1)(1-2x)0; (2)x(x+1)(x-3)(x-2)20; (3)x3-2x2+30;,分析:按照解一元高次不等式的步骤求解.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟1.解这一类不等式时,必须将所求不等式化为不等式的一边为0,另一边为若干个不可约因式的积的形式,且x的系数必须为正,根据实数运算的符号法则,把它等价转化为两个或多个不等式(组),然后解之;或将其整式化,用穿针引线法解之. 2.对于本例中的(3)通过等价转化,可变为一
7、次不等式求解.另外,分式不等式中如果分子和分母不是一次式,那么可转化为高次不等式求解.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练2,(1)解析:原不等式等价于(x+2)(x-1)(x-3)0,利用穿针引线法可得不等式解集为x|-23. 答案:x|-23 (2)解:原不等式等价于(x+4)2(x+5)(x-2)30, 函数f(x)=(x+4)2(x+5)(x-2)3与x轴的交点坐标为(-5,0),(-4,0),(2,0),根据穿针引线法,画出示意图. 不等式的解集为x|x2或x-5.,探究一,探究二,探究三,规范解答,【例3】若关于x的不等式ax2+2x+20在R上恒成立,求实数a的取值范围.
8、 分析:题目给出的不等式疑似一元二次不等式,需讨论a=0和a0两种情况.当a0时,要使不等式在R上恒成立,只需a0,且对应的一元二次方程的判别式0,解集不为R,所以a=0不满足题意,舍去; 当a0时,要使原不等式的解集为R,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟1.任何一个一元二次不等式总可以化为ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0对一切xR恒成立a0,且=b2-4ac0(a0)在m,n上恒成立f(x)min0,xm,n0)在m,n上恒成立f(x)max0(0)是一元二次不等式,那么应首先考虑二次项系数a=0时的情形.,探究一,探究二,探究三,规范解答,2.对于本例还可以等价于以
9、下两种形式:(1)已知关于x的不等式ax2+2x+20的解集为R,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)=lg(ax2+2x+2)的定义域为R,求实数a的取值范围.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练3,答案:0,1,探究一,探究二,探究三,规范解答,一元二次不等式在实际问题中的应用 【典例】某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个,出厂价为60元/个,日销售量为1 000个,为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0x1),则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x,同时预计日销售量增加的百分率为0.8x,已知日利润=(出厂价-成本)日销售量
10、,且设增加成本后的日利润为y,为使日利润有所增加,求x的取值范围. 分析:先建立日利润y与成本增加的百分率x之间的函数关系,再根据题意列出不等式,进行求解.,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思提升解决这类实际问题的关键是把文字语言转换成数学语言,在转换成数学语言时,应先把复杂问题拆解成若干个简单问题,再通过各个突破,使问题得以解决.另外,解不等式时还要注意未知数的实际含义.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练 一家摩托车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系:y=-2x2+220x. 若这家工厂希望在一个星期内利
11、用这条流水线创收6 000元以上,则它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车, 根据题意,可得到-2x2+220x6 000, 移项整理,得x2-110x+3 0000, 所以方程x2-110x+3 000=0,有两个实数根x1=50,x2=60. 由二次函数的图像,得不等式的解为50x60. 因为x只能取正整数,所以,当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在5159辆之间(包括51与59)时,这家工厂能够获得6 000元以上的收益.,1,2,3,4,5,A.(-,-1)(-1,2 B.-1,2 C.(-,-1)2,+) D.(-1,2,答
12、案:D,1,2,3,4,5,2.不等式(x+1)(x-1)2(x-3)0的解集是( ) A.(-1,3) B.(-1,1)(1,3) C.(-1,1) D.(1,3) 解析:如图,用穿针引线法,易知不等式的解集为(-1,1)(1,3). 答案:B,1,2,3,4,5,3.当xR时,不等式x2+mx+ 0恒成立,则m的取值范围是 . 解析:依题意,得=m2-41 0,即m2-2m0,解得0m2. 答案:(0,2),1,2,3,4,5,4.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少 t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是 . 解析:设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,令y900,即60(8t-t2)900.解得3t5. 答案:3,5,1,2,3,4,5,解:(1)方法一:原不等式可化为(x-1)(x-2)30或(x+1)2=0, 又可化为(x-1)(x-2)0或x=-1,即1x2或x=-1, 所以原不等式的解集为x|1x2或x=-1.,
