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1、本章整合,专题一,专题二,专题一 数列通项公式的求法 数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式围绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化趋势与规律,而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一.下面介绍几种常用的求法.,专题一,专题二,1.观察法 已知数列前若干项,求该数列的通项公式时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项公式. 【例1】写出下列两个数列的一个通项公式:,解:(1)这是一个分数数列,分子是偶数,而分母是13,35, 57,79,911,为两个连续奇数的乘积. 故所求数列的通项公式为 (2)各
2、项分别加上2,变为10,100,1 000,10 000, an=10n-2.,专题一,专题二,变式训练1 写出下列数列的一个通项公式.,专题一,专题二,解:(1)数列可记为21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,所以数列的一个通项公式为an=2n+1.,专题一,专题二,专题一,专题二,2.根据an与Sn的关系求通项公式法 (1)若已知Sn的表达式,则可直接利用 求得an,注意对n=1与n2的讨论. (2)若已知Sn与an的关系式,则可根据an=Sn-Sn-1消去Sn(或an),得到an与an-1(或Sn与Sn-1)的关系式,然后用其他方法求解.,专题一,专题二,专题一,专题二,变式
3、训练2 已知数列an的前n项和Sn=3-2an(nN+),求通项公式an. 解:因为Sn=3-2an, 所以当n2时,Sn-1=3-2an-1. 两式相减得an=-2an+2an-1,专题一,专题二,3.累加法 对于形如an+1-an=f(n)型的递推公式求通项公式. (1)当f(n)=d为常数时,an为等差数列,则an=a1+(n-1)d; (2)当f(n)为关于n的函数时,用叠加法. 方法如下:由an+1-an=f(n),得 当n2时,an-an-1=f(n-1), an-1-an-2=f(n-2), a3-a2=f(2), a2-a1=f(1). 以上(n-1)个等式叠加,得 an-a1
4、=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1), an=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1)+a1.,专题一,专题二,为了书写方便,也可以用横式来写: 当n2时,an-an-1=f(n-1), an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1)+a1.,专题一,专题二,【例3】已知数列an中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列an的通项公式. 解:由an+1-an=3n-n, 得an-an-1=3n-1-(n-1), an-1-an-2=3n-2-(n-2), a3-a2=32-2, a2-a1=3-1
5、. 当n2时,以上(n-1)个等式两端分别相加,得 (an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1) =3n-1+3n-2+3-(n-1)+(n-2)+1,专题一,专题二,专题一,专题二,变式训练3,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,变式训练4,专题一,专题二,5.构造辅助数列法 (1)取倒数构造法,专题一,专题二,变式训练5,专题一,专题二,(2)加常数构造法 对于满足an=pan-1+q型的数列an,可利用待定系数法将其变形为an+=p(an-1+),再设an+=bn,则bn即为以b1=a1+为首项,p为公比的等比数列,求出bn的通项公式后即得an.,专题一,专题二
6、,(3)其他构造法 例7已知数列an满足an+1=2an+32n,a1=2,求an的通项公式.,专题一,专题二,变式训练6,专题一,专题二,专题二 数列求和的常用方法 数列求和是数列部分的重要内容,也是高考的重要考点之一.对于数列求和问题,一般是先观察数列的特点和规律,如果通项公式能够求出,那么可先求出通项公式再决定使用哪种求和方法.下面介绍几种常用的求和方法.,专题一,专题二,1.公式法 公式法是数列求和的最常用方法之一,可直接利用等差数列、等比数列的求和公式,也可利用常见的求前n项和的公式,如:,解:数列an的前n项和为Sn=2n-1, an为等比数列. a1=S1=21-1=1,a2=S
7、2-S1=3-1=2, 数列an的公比q=2.,专题一,专题二,变式训练7 求数列n(n+1)的前n项和Sn. 解:设an=n(n+1)=n2+n, 则Sn=a1+a2+an =(12+1)+(22+2)+(n2+n) =(12+22+n2)+(1+2+n),专题一,专题二,2.裂项相消法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,对于分式的求和多利用此法.解题时可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去的项的规律,即消去哪些项,保留哪些项. 例9已知数列an的通项公式为 ,求其前n项和Tn.,专题一,专题二,变式训练8 等差数列an的各项均为正数,a1=3,前n
8、项和为Sn, bn为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960. (1)求an与bn;,解:(1)设an的公差为d,bn的公比为q, 则d为正数,an=3+(n-1)d,bn=qn-1.,专题一,专题二,专题一,专题二,3.错位相减法 若在数列anbn中,an是等差数列,bn是等比数列,则可采用错位相减法求和.,例10求和:,专题一,专题二,变式训练9 已知首项都是1的两个数列an,bn(bn0,nN+)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.,解:(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn0(nN+), 所以数列cn是以1为首项,2为公差的等差数列
9、,故cn=2n-1. (2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是数列an的前n项和Sn=130+331+532+(2n-1)3n-1, 3Sn=131+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n, 相减得-2Sn=1+2(31+32+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.,专题一,专题二,4.并项转化法 对于形如(-1)nan(其中an为等差数列)的数列,通常将数列中相邻的两项合并,再进行求解,注意对项数n分奇数和偶数进行讨论. 例11已知Sn=-1+3-5+7-+(-1)n(2n-1),求Sn. 解:当n为奇数时,
10、Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+(-2n+1),专题一,专题二,变式训练10 数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,1+2+22+2n-1, 的前n项和为 . 解析:此数列的第n项为1+2+22+2n-1=2n-1, 答案:2n+1-n-2,专题一,专题二,5.分组求和法 分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中an与bn均是等差数列或等比数列等一些可以直接求和的数列.,专题一,专题二,例12在等差数列an中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项. (1)求数列an的通项公式;,解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a
11、1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n.,专题一,专题二,变式训练11 等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1, (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列bn的前n项和. 解:(1)设等比数列an的公比为q.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1 等差数列 1.(2016全国乙高考)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 解析:(方法一)设等差数列an的公差为d,答案:C,2.(2016北京高考)已知an
12、为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= . 解析:an是等差数列,a3+a5=2a4=0.a4=0. a4-a1=3d=-6.d=-2. S6=6a1+15d=66+15(-2)=6. 答案:6 3.(2016江苏高考)已知an是等差数列,Sn是其前n项和. 若 ,S5=10,则a9的值是 . 解析:由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3d=3,a9=2+36=20. 答案:20,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点2 等比数列 4.(2016四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全
13、年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ( ) (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 解析:设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元, 由已知得130(1+12%)n200,答案:B,考点1,考点2,考点3,考点4,5.(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn,若S2=4, an+1=2Sn+1,nN+,则a1= ,S5= . 解析:由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1
14、+1, 所以a1=1,a2=3. 再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2), 得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2). 又因为a2=3a1,所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列.,答案:1 121,考点1,考点2,考点3,考点4,6.(2016全国丙高考)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0. (1)证明:an是等比数列,并求其通项公式;,考点1,考点2,考点3,考点4,考点3 数列的综合应用 7.(2015课标全国高考)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 解析:由a1+a3+a5
15、=3,得3a3=3,解得a3=1.故 答案:A 8.(2015课标全国高考)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1, an+1=SnSn+1,则Sn= .,考点1,考点2,考点3,考点4,9.(2017全国1高考)设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.,考点1,考点2,考点3,考点4,10.(2017全国2高考)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3. 解:设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. (1)由a3+b3=5,得2d+q2=6. 因此bn的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0, 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由得d=8,则S3=21. 当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.,考点1,考点2,考点3,考点4,11.(2017全国3高考)设数列an满足
