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1、章末复习,第四章 函数应用,学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解. 2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异. 3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.对于函数yf(x)，xD，使f(x)0的实数x叫作函数yf(x)，xD的零点. 2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点. 3.函数的零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有
2、零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0. (1)函数yf(x)在区间a，b内若不连续，则f(a)f(b)0与函数yf(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即零点存在性定理仅对连续函数适用).,(2)连续函数yf(x)若满足f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，不一定有f(a)f(b)0，若yf(x)为单调函数，则一定有f(a)f(b)0. 4.二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精度，计算时及时检验.,5.解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其
3、产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：,思考辨析 判断正误 1.函数yf(x)g(x)的零点即方程 1的根.( ) 2.用二分法求函数零点近似解时，始终要保持零点区间(a，b)满足f(a)f(b)x0时，有2xx3.( ) 4.建立的函数模型必须真实地反映原型的特征和关系.( ),题型探究,类型一 函数的零点与方程的根的关系及应用,例1 已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x 1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_.,答案,解析,x1x2x3,解析 令x2x0，得2xx； 令
4、xln x0，得ln xx； 在同一坐标系内画出y2x，yln x，yx的图像， 如图可知x10x21.,所以x1x2x3.,反思与感悟 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点. (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数进行判断.,跟踪训练1 若函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2),答案,解析,解析 显然f(x)在(0，)上是增函数， 由条件可知f(1)f(2)0，即(2
5、2a)(41a)0， 即a(a3)0，解得0a3.,类型二 用二分法求函数的零点或方程的近似解,例2 方程x3x30的实数解所在的区间是 A.1,0 B.0,1 C.1,2 D.2,3,答案,解析,解析 设f(x)x3x3， 因为f(1)f(2)(113)(2323)90， 所以函数的零点即对应方程的解所在的区间是1,2.,反思与感悟 (1)根据f(a0)f(b0)0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间. (2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大. (3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(a
6、n，bn)中，|anbn|，那么区间(an，bn)内任意一个数都是满足精度的近似解.,跟踪训练2 已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)，当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN，则n_.,2,解析 a2， f(x)logaxxb在(0，)上为增函数， 且f(2)loga22b，f(3)loga33b. 2a3b4，0loga21，22b1. 2loga22b0. 又1loga32，13b0， 0loga33b2，即f(2)0，f(3)0. 又f(x)在(0，)上是增函数，f(x)在(2,3)内必存在唯一零点.,答案,解析,类型三 函数模型及应用,例3 如图，建立平面直
7、角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx (1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.,解答,(1)求炮的最大射程；,由实际意义和题设条件知x0，k0，,所以炮的最大射程为10千米.,(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.,解 因为a0，所以炮弹可击中目标,关于k的方程a2k220aka2640有正根 判别式(20a)24a2(a264)0a6. 所以当它的横坐标a不超过6时，可击中目
8、标.,解答,反思与感悟 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y0时求x的最大值)非常重要.另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响.,跟踪训练3 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是_小时.,答案,解析,24,故e33kbe33keb24，即该食品在33的保鲜时间是24小时.,达标检测,1.已知函数f(x)axxa(a0，a1)，那么函数f(x)的零点有 A.0个 B.1个
9、 C.2个 D.至少1个,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 在同一坐标系中作出函数yax与yxa的图像，当a1时，如图(1)， 当0a1时，如图(2)，故选D.,解析 由晨练的图像可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据四个选项可知只有选项D符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，选项D也符合.故选D.,2.如图所示是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图像.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是,1,2,3,4,5,答案,解析,3.若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(x
10、b)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间 A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)内,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由题意abc，可得f(a)(ab)(ac)0， f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0. 显然f(a)f(b)0，f(b)f(c)0， 所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.,答案,1,2,3,4,5,(log32,1),1,2,3,4,5,5.已知方程2x10x的根x(k，k1)，kZ，则k_.,答案,2,规律与方法,1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图像、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围. 2.函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题； (2)建立确定的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 3.函数建模的基本过程如图：,
