《2017-2018学年高一数学新人教a版必修1课件：第3章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高一数学新人教a版必修1课件：第3章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型,主题 三种不同增长的函数模型 观察函数y=x2,y=2x,y=log2x在区间(0,+)上的图象,思考以下几个问题:,1.三个函数在区间(0,+)上的图象有什么特点? 提示:三个函数在区间(0,+)上的图象都是上升的,即单调递增.,2.当x趋于无穷大时,三个函数中哪个函数的增长速度最快?哪个最慢? 提示:三个函数的增长速度差异很大,其中y=2x增长速度最快,y=log2x增长速度最慢.,3.试着完成下面的填空:,增函数,增函数,增函数,越来越快,y轴,x轴,结论: 1.常见的函数模型 _、_、_、_、 _.,一次函数,二次函数,指数
2、函数,对数函数,幂函数,2.y=ax(a1),y=logax(a1),y=xn(n0)的不同增长情况, 在区间(0,+)上,尽管函数y=ax(a1),y=logax(a1) 和y=xn(n0)都是_,但它们的_不同, 而且不在同一个“档次”上.随着x的增长,y=ax(a1) 的增长速度会远远超过_的增长速度,而,增函数,增长速度,y=xn(n0),y=logax(a1)的增长速度会_,在(0,+)上总 会存在一个x0,当_时,_. 函数_的增长是“爆炸式的”; 函数_的增长越来越慢;函数_的增长比较平 稳.,越来越慢,xx0,logaxxnax,y=ax,y=logax,y=xn,3.增长率问
3、题 日常生活中常见的问题,计算公式为_,若某月 的产值是b,则此月开始第n个月后的产值是_.,y=N(1+p)x,b(1+p)n,【微思考】 1.一般情况下,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)在区间(0,+)上增长速度怎样? 提示:y=ax(a1)中y随x的增长速度越来越快,y= logax(a1)中y随x的增长会越来越慢,y=xn(n0)中y随x的增长速度相对比较平稳.,2.判断某个增函数增长快慢的依据是什么? 提示:依据是自变量每改变一个单位,函数值增长量的大小.增长量越大,增长速度越快.,3.当a1,n0时,是否对任意x0(0,+),都有logax0 ? 提示
4、:不是,只有当x0大于某一个值时,logax0 才成立.,【预习自测】 1.以下四个说法中,正确的是 ( ) A.幂函数增长比直线增长更快 B.对任意x0,xnlogax C.对任意x0,axlogax D.不一定存在x0,使xx0时,总有axxnlogax,【解析】选D.根据函数y=ax,y=xn,y=logax的增长情况判断即可.,2.已知增函数f(x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为( ),【解析】选B.由于过(1,2)点,排除C,D;由图象与直线y=4无限接近,但到达不了,即y4知排除A,所以选B.,3.某厂2006年的产值为a万元,预计产值每年以n%的速 度递增,则该厂到2018
5、年的产值(单位:万元)是( ) A.a(1+n%)13 B.a(1+n%)12 C.a(1+n%)11 D. a(1-n%)12,【解析】选B.2006年的产值为a万元,2007年的产值为 a+an%=a(1+n%),2008年的产值为a(1+n%)+a(1+n%)n% =a(1+n%)2,2018年的产值为a(1+n%)12.,4.若x(0,1),则下列结论正确的是 ( ) A.2x lgx B.2xlgx C. 2xlgx D.lgx 2x,【解析】选A.结合y=2x,y= 及y=lgx的图象易知当 x(0,1)时,2x lgx.,5.(2017济南高一检测)调查表明,酒后驾驶是导致交通事
6、故的主要原因,交通法规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精的含量以每小时50%的速度减少,则至少经过_小时他才可以驾驶机动车(精确到小时).,【解析】设n小时后他才可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n0.2,即2n15,nlog215,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车. 答案:4,类型一 几类函数模型增长差异的比较 【典例1】(1)下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( ) A.y= ex B.y=100lnx C.y=x100 D.y=1002x,(2)四人赛跑,假设他们跑过的路
7、程fi(x)(其中i1,2,3,4)和时间x(x1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是哪一个?为什么?,【解题指南】(1)根据指数函数、幂函数、对数函数的增长情况及指数函数的底数对其增长速度的影响来判断. (2)根据不同函数模型的增长特点来判断.,【解析】(1)选A.指数函数呈爆炸式增长,又e2,所以 ex比1002x增大速度快. (2)最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x, 理由如下: 显然四个函数中,指数函数是增长最快的,故最终跑在 最前面的人具有的函数关系是f4
8、(x)=2x.,【方法总结】三种函数模型的表达式及其增长特点的总结 (1)指数函数模型:表达式为f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b1),当b1时,增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”;当0b1时,函数值由快到慢地减少.,(2)对数函数模型:表达式为f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a1),当a1时,增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”;当0a1时,相应函数值逐渐减少,变化得越来越慢.,(3)幂函数模型:表达式为f(x)=ax+b(a,b,为常数,a0,1,0),
9、其增长情况由a和的取值确定,常见的有二次函数模型.,【巩固训练】(1)(2017开封高一检测)四位好朋友在一次聚会上,按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示,盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是 ( ),A.h2h1h4 B.h1h2h3 C.h3h2h4 D.h2h4h1,(2)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表所示:,则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为_,_,_.,【解析】(1)选A.饮各自杯中酒的一半,柱形杯中酒的高度变为原来的一半,
10、其他的比一半大,前三个杯子中圆锥形的杯中酒的高度最高,可排除选项B,C,D.,(2)通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知,变量y3随x的变化越来越慢,为对数函数;y2随x的变化越来越快,为指数函数;y1随x的变化速度介于指数函数与对数函数之间,为幂函数. 答案:y3 y2 y1,【补偿训练】当x0时,比较 的大小.,【解析】作出函数y= y= 的图象(如图所示). 由二分法可得,方程 的解为 x=0.5,方程 的近似解为x=0.64118574,方程 的近似解为x=0.587774756.,由图及上述近似解可知,当0x0.5时, 当x=0.5时, 当0.5x0.587
11、774756时, 当x=0.587774756时, 当0.587774756x0.64118574时, 当,x=0.64118574时, 当x0.64118574时,类型二 几类函数模型的应用 【典例2】(1)(2017青岛高一检测)如图所示,根据此统计图分析以下说法:,这几年人民的生活水平逐年得到提高; 人民的生活收入指数增长最快的是2011年; 生活价格指数上涨最快的一年是2012年; 虽然2013年生活收入指数增长缓慢,但由于价格指数有较大下降,因而人民的生活水平仍有较大改善. 上述说法正确的是 ( ) A. B. C. D.,(2)(2017兰州高一检测)某品牌茶壶的原售价为80元 一
12、个,今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶,甲店用如 下的方法促销:如果只购买一只茶壶,其价格为78元/个; 如果一次购买两个茶壶,其价格为76元/个,;如果一 次购买的茶壶数每增加一个,那么茶壶的价格减少2元/,个,但茶壶的售价不得低于44元/个.乙店一律按原价的75%销售.现某茶社要购买这种茶壶x个,如果全部在甲店购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙店购买,则所需金额为y2元.,分别求出y1,y2与x之间的函数关系式. 该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少?,【解题指南】(1)结合生活收入指数与生活价格指数对居民生活的影响来判断. (2)根据题意,先建立数学函数模型再进行比较.,【解析】(1)选
13、A.由题意知:生活收入指数减去生活价格指数的差值是逐年增大的. (2)y1与x之间的函数关系式: y1= y2与x之间的函数关系式:y2=60x(x0,xN).,y1-y2=-2x2+80x-60x=-2x2+20x0, 解得0x10, 所以,当茶社购买这种茶壶的数量小于10个时,到乙茶具店购买茶壶的费用较少,当茶社购买数量为10个时,费用一样,当茶社购买这种茶具的数量大于10个时,到甲茶具店购买茶壶的费用较少.,【方法总结】建立函数模型要遵循的原则 (1)简化原则: 建立模型,要对原型进行一定的简化,抓主要因素、主变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.,(2)可推演原则: 建立的模型一定要有意
14、义,既能对其进行理论分析,又能计算和推理,且能推演出正确结果.,(3)反映性原则: 建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系,即应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明现实问题的功能,能回到具体研究对象中去解决问题.,【巩固训练】一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过_分钟,该病毒占据64MB内存(1MB=210KB).,【解析】设过n个3分钟后,该病毒占据64MB内存, 则22n=64210=216, 所以n=15,故时间为153=45(分钟). 答案:45,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,以使结果符合实际问题的要求.,(2)在实际问题向数学问题的转化过程中,要充分使用数学语言,如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化.,
