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1、高次方程韦达定理 2017 年 11 月 1 - 4 高次方程韦达定理 学习目标 1.1. 掌握高次方程韦达定理的一般形式掌握高次方程韦达定理的一般形式 2.2. 能应用韦达定理及其逆定理解题能应用韦达定理及其逆定理解题 引例 若实数若实数, x y满足满足 3333 1 2017201520172016 xy 3333 1 2014201520142016 xy 试求试求xy. . （20172017 年清华大学中学生标准学术能力测试年清华大学中学生标准学术能力测试，原题是选择题原题是选择题） 思路分析 规范解答 一般地，在复数域内，设关于x的n次方程 110 00 nn nnn a xax
2、a xaa 的n个根 是1 i xin ，则有韦达定理（根与系数关系）如下： 12 12 1 1 2 1 1 0 1 1 1 k k n n i i n n ij ij n n k n k iii iiin n n n i i n a x a a x x a a x xx a a x a 韦达定理的逆定理也成立，即：若1 i xin 满足（3）式，则1 i xin 一定是关于x的 方程 110 00 nn nnn a xaxa xaa 的n个根. 高次方程韦达定理 2017 年 11 月 2 - 4 特别地，设一元三次方程 32 00axbxcxda的三个根分别为 123 ,x xx，则有：
3、123 12233 1 123 , , , b xxx a c x xx xx x a d x x x a 例例1 1 设设 2222222 1 123456 abcdef kkkkkkk 对对1,2,3,4,5,6k 均成立均成立，试求试求abcdef . . 思路分析 规范解答 例例2 2 已知方程已知方程 2017 10z 的所有复数根为的所有复数根为1,2,2017 i z i ，则下列关于则下列关于 2017 1 1 2 i i z 的判断中的判断中， 一定正确的有一定正确的有（ ）. . A. A. 是比是比 2017 2 大的实数大的实数 B. B. 是比是比 2017 2 小的
4、实数小的实数 C. C. 是有理数是有理数 D. D. 是虚数是虚数 （20172017 年清华大学优秀中学生文科冬令营年清华大学优秀中学生文科冬令营试题试题） 思路分析 规范解答 高次方程韦达定理 2017 年 11 月 3 - 4 例例3 3 若实系数多项式若实系数多项式 32 f xxaxbxc有三个有三个非负非负零点零点，求证求证： 3 297acab. . （20142014 年北京大学优秀中学生暑期体验营年北京大学优秀中学生暑期体验营） 思路分析 规范解答 例例4 4 设实数设实数 123123 ,a a a b b b满足满足 123123 1223311 22 33 1 123
5、123 min,min, aaabbb a aa aa abbb bb b a a ab b b 求证求证： 123123 max,max,a a ab b b. . （20082008 年北京大学自主招生年北京大学自主招生试题试题） 思路分析 规范解答 高次方程韦达定理 2017 年 11 月 4 - 4 例例5 5 实数实数, ,a b c和正数和正数使得使得 32 0xaxbxc有三个实数根有三个实数根 123 ,x xx，且且 21 xx， 12 3 2 xx x . . 求证求证： 3 3 22793 3 2 acab . . （全国高中数学联赛试题全国高中数学联赛试题） 思路分析
6、规范解答 课后思考 1.1. 若两两不同的实数若两两不同的实数, ,x y z满足满足 323232 333xxyyzz，则则xyz等于等于（ ） A. A. 1 B. B. 0 C. C. 1 D. D. 前三个都不对前三个都不对 （20162016 年北京大学博雅计划试题年北京大学博雅计划试题） 2.2. 定义区间两端点之差的绝对值为区间的长度定义区间两端点之差的绝对值为区间的长度. . 若不等式若不等式 1235 1234xxx 的解集是互不的解集是互不 相交的若干区间的并集相交的若干区间的并集，求这个解集的所有区间的长度之和求这个解集的所有区间的长度之和. . （高中数学联赛湖北省预赛试题高中数学联赛湖北省预赛试题） 3.3. 若实数若实数, a b使得方程使得方程 32 0xaxbxa有三个正实根有三个正实根，求求 3 233 1 aaba b 的最小值的最小值. . （第十届东南地区奥林匹克竞赛试题第十届东南地区奥林匹克竞赛试题） 4.4. 设关于设关于x的方程的方程 231 231 nnnn nn xa xa xaxax 有有n个非负实数根个非负实数根， 求证求证： 23 23 2 02221 n n n n aaa n . . （亚太地区奥林匹克竞赛试题亚太地区奥林匹克竞赛试题）
