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1、选修44 坐标系与参数方程,知识梳理,考点自测,1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换: 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.,知识梳理,考点自测,2.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 O,叫做极点,自极点O引一条 Ox,叫做极轴;再选定一个 单位,一个 单位(通常取 )及其正方向(通常取_ 方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的 叫做点M的极径,记为 ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角_ 叫做点M的极角,记为 .有
2、序数对 叫做点M的极坐标,记为 .,定点,射线,长度,角度,弧度,逆时针,距离|OM|,xOM,(,),M(,),知识梳理,考点自测,3.极坐标与直角坐标的互化 (1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,). (2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍).一般取0,0,2).,知识梳理,考点自测,4.直线的极坐标方程 (1)若直线过点M(0,0),且从极轴到此直线的角为,则它的方程为:sin(-)= . (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程: 直线过极点:=0和 ; 直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ;,0sin(0-),= +0,cos =a,sin
3、 =b,知识梳理,考点自测,5.圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的方程为 . (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程: 圆心位于极点,半径为r:= ; 圆心位于M(a,0),半径为a:= ;,r,2acos ,2asin ,知识梳理,考点自测,6.曲线的参数方程 定义:在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的 ,其中变数t称为 . (1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为的直线的参数方程为,参数方程,参数,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,2,
4、3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.( ) (2)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.( ) (5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为=2asin .( ),答案,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,A.线段 B.双曲线的一支 C.圆弧 D.射线,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.(2017北京,理11)在极坐标系中,点A在圆2-2c
5、os -4sin +4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,例1在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.无论是参数方程化为极坐标方程,还是极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程. 2
6、.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos , (1)求C的参数方程; (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需
7、要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件. 2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,例3(2017全国,理22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得
8、对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来解决,也可以通过直角坐标解决,但大多数情况下,把极坐标问题转化为直角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题.这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为= (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考
9、点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得在求动点轨迹方程时,如果题目有明确要求,求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程,那么就按要求做;如果没有明确的要求,那么三种形式的方程写出哪种都可,哪种形式的容易求就写哪种.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路:对于简单的,我们可以直接代入公式cos =x,sin =y,2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘等. 2.如果要判断极坐标系中曲线的形状,我们可以先将方程化为直角
10、坐标方程再进行判断,这时我们直接应用x=cos ,y=sin 即可. 3.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常用到公式:cos2+sin2=1,1+tan2= 等. 4.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便,是我们解决这类问题的好方法.,考点1,考点2,考点3,考点4,1.极坐标与平面直角坐标不同,极坐标与直角坐标之间不是一一对应的,所以我们规定0,02来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点. 2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅要把其中的参数消去,还要注意其中的x,y的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.,
