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1、选修45 不等式选讲,知识梳理,考点自测,1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b| ,当且仅当 时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c| , 当且仅当 时,等号成立.,|a|+|b|,ab0,|a-b|+|b-c|,(a-b)(b-c)0,知识梳理,考点自测,2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法: |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: |ax+b|c ; |ax+b|c . (3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)
2、型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,知识梳理,考点自测,2ab,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)对|a-b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.( ) (2)|a+b|+|a-b|2a|. ( ) (3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和. ( ) (4)用反证法证明命题“a,b,c全为0
3、”时假设为“a,b,c全不为0”. ( ) (5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则nm. ( ),知识梳理,考点自测,2.(2017江苏南通模拟)若|a-c|c-b C.|a|b|-|c| D.|a|b|+|c|,解析:|a|-|c|a-c|b|,即|a|b|+|c|,故选D.,D,3.若不等式 对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是( ) A.2a3 B.1a2 C.1a3 D.1a4,C,知识梳理,考点自测,4.设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 的最小值为 .,5.(2017广西南宁模拟)若存在实数x使|x-a|+|x-1|3成立,则实数a的取值范围是
4、.,解析:由柯西不等式可知(a2+b2)(m2+n2)(ma+nb)2, 即5(m2+n2)25,当且仅当an=bm时,等号成立,-2,4,解析:|x-a|+|x-1|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|3有解,可使|a-1|3,-3a-13,-2a4.,考点一,考点二,考点三,考点四,解绝对值不等式及求参数范围(多考向) 考向1 分离参数法求参数范围 例1(2017全国,文23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二
5、,考点三,考点四,解题心得1.解含有两个以上绝对值符号的不等式,一般解法是零点分段法.即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式. 2.在不等式恒成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练1(2017湖南岳阳一模,文23)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)若不等式f(x)6的解集为x|-2x3,求实数a的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.,考点一,考点
6、二,考点三,考点四,解 (1)函数f(x)=|2x-a|+a, 不等式f(x)6,解得a-3x3. 再根据不等式的解集为x|-2x3, 可得a-3=-2,实数a=1. (2)在(1)的条件下,f(x)=|2x-1|+1, f(n)=|2n-1|+1.存在实数n使f(n)m-f(-n)成立, 即f(n)+f(-n)m,即|2n-1|+|2n+1|+2m. |2n-1|+|2n+1|(2n-1)-(2n+1)|=2, |2n-1|+|2n+1|的最小值为2,m4, 故实数m的取值范围是4,+).,考点一,考点二,考点三,考点四,考向2 通过求函数最值求参数范围 例2(2017全国,文23)已知函数
7、f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围. 2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a有解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训
8、练2已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当 时,f(x)g(x),求a的取值范围.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,不等式的证明 例3(2017全国,文23)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得不等式证明的常用方法是:比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件,另一方面要善于
9、对式子进行恰当的转化、变形.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,求最值(多考向) 考向1 利用基本不等式求最值 例4若a0,b0,且 (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.,解题心得如果题设条件有(或者经过化简题设条件得到)两个正数和或两个正数积为定值,则可利用基本不等式求两个正数积的最大值或两个正数和的最小值.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练4(2017辽宁大连一模,23)已知a0,b0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1. (1)求证:2a+b=2; (2)
10、若a+2btab恒成立,求实数t的最大值.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考向2 利用柯西不等式求最值 例5(2017四川成都二诊,23)已知函数f(x)=4-|x|-|x-3|.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得利用柯西不等式求最值时,一定要满足柯西不等式的形式,有时需要变形才能利用柯西不等式.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练5(2017河南洛阳一模,23)已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|2m的解集为R. (1)求m的最大值; (2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最
11、小值及此时a,b,c的值.,考点一,考点二,考点三,考点四,解 (1)因为|x+3|+|x+m|(x+3)-(x+m)|=|m-3|. 当-3x-m或-mx-3时取等号, 令|m-3|2m,所以m-32m或m-3-2m. 解得m-3或m1. 故m的最大值为1. (2)a+b+c=1,考点一,考点二,考点三,考点四,绝对值三角不等式的应用 例6设函数 (1)证明:f(x)2; (2)若f(3)5,求a的取值范围.,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得绝对值三角不等式、基本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用,无论运用绝对值三角不等式还是运用基本不等式时应注意等号成立的条件.,考
12、点一,考点二,考点三,考点四,对点训练6(2017湖南长沙一模,文23)已知f(x)=|x-a|+|x-3|. (1)当a=1时,求f(x)的最小值; (2)若不等式f(x)3的解集非空,求a的取值范围.,解 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x-3|x-1-x+3|=2, f(x)的最小值为2,当且仅当1x3时取得最小值. (2)xR时,恒有|x-a|+|x-3|(x-a)-(x-3)|=|3-a|, 又不等式f(x)3的解集非空, |3-a|3, 0a6.,考点一,考点二,考点三,考点四,1.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法 (1)分离参数法:运用“f(x)af(x)maxa,
13、f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题. (2)数形结合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立问题时,若能作出两个函数的图象,则通过图象的位置关系可直观解决问题. 2.含绝对值不等式的证明,可用“零点分段法”讨论去掉绝对值符号,也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推广形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|. 3.不等式求解和证明中应注意的事项 (1)作差比较法适用的主要是多项式、分式、对数式、三角式,作商比较法适用的主要是高次幂乘积结构. (2)利用柯西不等式求最值,实质上就是利用柯西不等式进行放缩,放缩不当则等号可能不成立,因此,要切记检验等号成立的条件.,考点一,考点二,考点三,考点四,1.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏. 2.在利用算术-几何平均不等式或柯西不等式求最值时,要注意检验等号成立的条件,特别是多次使用不等式时,必须使等号同时成立.,
