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1、2.2.1 综合法与分析法,第二章 2.2 直接证明与间接证明,学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点. 2.会用综合法、分析法解决问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 直接证明,直接证明是从命题的 出发，根据已知的定义、公理、定理， 推证结论的真实性.常用的直接证明方法有综合法与分析法.,条件或结论,直接,知识点二 综合法,思考,该题的证明顺序是什么？,答案,答案 从已知利用基本不等式到待证结论.,综合法 (1)定义：综合法是从 出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论. (2)逻辑关系：P0(已知)P1P2PnQ(结论). (3)特
2、点：从“已知”看“可知”，逐步推向“ ”，其逐步推理，实际上是寻找它的 条件.,梳理,已知条件,未知,必要,知识点三 分析法,思考,阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？,答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件.,答案,分析法 (1)定义：分析法是从 出发，一步一步寻求结论成立的 条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实. (2)逻辑关系：B(结论)B1B2BnA(已知). (3)特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“ ”，其逐步推理，实际上是要寻找它的 条件. (4)证明格式：要证，只需证，只需证，因为成立，所以成立.,梳理,待证结论,充分,已知,充分,题型探
3、究,例1 在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：ABC为等边三角形.,类型一 综合法的应用,证明 在ABC中，ABC，由A，B，C成等差数列，得2BAC，因此，B ， 由a，b，c成等比数列，得b2ac. 又b2a2c22accos Ba2c2ac， a2c2acac， 即(ac)20，因此ac.故ABC是等边三角形.,证明,用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论.其适用范围为： (1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等. (2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时
4、，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱.,反思与感悟,跟踪训练1 已知a，b，c为不全相等的正实数.,证明,又a，b，c为不全相等的正实数，,且上述三式等号不能同时成立，,证明,类型二 分析法的应用,即证a2b22ab. 由于a2b22ab对一切实数恒成立，,(1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少，否则会出现错误. (2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.,反思与感悟,证明,只需证02，而02显然成立，,证明,类型三 综合法与分析法的综合应
5、用,例3 已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.,引申探究 若本例条件不变，改为求证：,证明,证明 要证 成立，,只需证 ，,只需证 ,由于函数 在(0，)内是减函数，,所以只需证(ab)2(a21)(b21)， 即证a22abb2(a21)(b21)， 即证a2b22ab10， 即证(ab1)20，上式显然成立，所以原不等式成立.,反思与感悟,综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因.就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长.也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，先利
6、用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.,证明,跟踪训练3 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与 c的等差中项，求证：,证明 由已知条件得 b2ac， 2xab,2ybc. ,只要证aycx2xy， 只要证2ay2cx4xy. 由得2ay2cxa(bc)c(ab)ab2acbc， 4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc， 所以2ay2cx4xy.命题得证.,当堂训练,1.若ab0，则下列不等式中不正确的是 A.a2ab B.abb2 C. D.a2b2,答案,2,3,4,5,1,解析,2.要证a2b21a2b20，只需证 A.2ab1a2b20,答案,2,3,4,5,1,D.(a21)(b21)0,A.c B.b C.a D.随x取值不同而不同,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,答案,分析法,证明,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,证明 要证cos sin 3(cos sin )，,只需证1tan 3(1tan )，,2,3,4,5,1,即2tan 1.,规律与方法,1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因. 2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语. 3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.,本课结束,
