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1、第二章,圆锥曲线与方程,2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程,学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线的方程.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三 角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上， 并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另 一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔， 上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.画出的曲线是什么形状？ 点D在移动过程中，满足什么条件？ 答案 抛物线 |DA|DC|,预习导引 1
2、.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl) 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .,距离相等,焦点,准线,2.抛物线标准方程的几种形式,y22px(p0),y22px(p0),x22py(p0),x22py(p0),要点一 求抛物线的标准方程 例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(2,0)；,抛物线标准方程为y28x.,(2)准线为y1；,抛物线标准方程为x24y.,(3)过点A(2,3)；,解 由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)， 将点A(2,3)的坐标代入，得32m2,22n3，,所求抛物线方程为 y25
3、x或y25x或x25y或x25y.,规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).,跟踪演练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 过点(3，4)； 解 方法一 点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10). 把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，,方法二 设抛物线的方程为y2ax (a0
4、)或x2by (b0).,(2) 焦点在直线x3y150上. 解 令x0得y5；令y0得x15. 抛物线的焦点为(0，5)或(15,0). 所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.,要点二 抛物线定义的应用 例2 如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点坐标.,解 如图，作PQl于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|d的最小值的问题.,将x3代入抛物线方程y22x，,A在抛物线内部.,得x2. 点P坐标为(2,2).,规律方法
5、 要注意抛物线的定义在解题中的作用，灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.,跟踪演练2 已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ),解析 如图，由抛物线定义知 |PA|PQ|PA|PF|， 则所求距离之和的最小值转化为求 |PA|PF|的最小值，,则当点P在第一象限且A、P、F三点共线时，|PA|PF|取得最小值.,(|PA|PF|)min|AF|,要点三 抛物线的实际应用 例3 喷灌的喷头装在直立管柱OA
6、的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？,解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所 形成的抛物线的方程为x22py(p0)， 因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，,因此2p5， 所以抛物线的方程为x25y， 点A(4，y0)在抛物线上，,所以管柱OA的长为1.8 m.,规律方法 在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.,跟踪演练3 某河上有一座抛物线形的拱桥，
7、当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分高为0.75 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？,解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系.(如图) 设抛物线的方程是x22py(p0)， 由题意知A(4，5)在抛物线上，,设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B时，木船开始不能通航.设B(2，y)，,故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航.,1,2,3,4,1.已知抛物线的准线方程为x7，则抛物线的标准方程为( ) A.x228y B.y228x C.y228
8、x D.x228y,1,2,3,4,解析 抛物线开口向右，方程为y22px (p0)的形式，,方程为y228x.,答案 B,2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线 上，则抛物线方程为( ) A.y28x B.y24x C.y22x D.y28x,1,2,3,4,1,2,3,4,即为(2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y28x或y28x.,答案 D,1,2,3,4,1,2,3,4,解析 如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离,答案 A,1,2,3,4,1,2,3,4,过A作AA准线l， |AF|AA|，,x01.,答案 C,课堂小结 1.抛物线的定义中不可忽略条件：点F不在直线l上. 2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.为避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx (m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my (m0).,
