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1、第三章 2.3 双曲线,2.3.1 双曲线的标准方程,1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 双曲线的定义,如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？,答案,曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线.,梳理,(1
2、)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点的距离叫做双曲线的 ； (2)关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的 (包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在. (3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的 . (4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是 .,绝对值,焦点,焦距,两条射线,一支,线段F1F2的中垂线,思考1,知识点二 双曲线的标准方程,
3、双曲线的标准方程的推导过程是什么？,答案,(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系. (2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0). (3)列式：由|MF1|MF2|2a， 可得 2a. (4)化简：移项，平方后可得 (c2a2)x2a2y2a2(c2a2). 令c2a2b2，得双曲线的标准方程为 (a0，b0) ,(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程；以方程的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程的解为坐标的点都在双曲线上，这
4、样，就把方程叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略),思考2,双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b的大小关系不确定.,双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？,答案,梳理,(1)两种形式的标准方程,a2b2c2,F1(c,0)，F2(c,0),F1(0，c)，F2(0，c),(a0，b0),(a0，b0),(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正
5、项走”，若x2项的系数为正，则焦点在 上；若y2项的系数为正，那么焦点在 上. (3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2By21(AB0). (4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2 与椭圆中的b2 相区别.,x轴,y轴,c2a2,a2c2,题型探究,类型一 双曲线的定义及应用,命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题 例1 已知双曲线 的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积.,解答,由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|c
6、os 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|PF2|64，,引申探究 本例中若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积.,解答,由双曲线方程知a3，b4，c5， 由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36， 在RtF1PF2中，由勾股定理得 |PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100， 将代入得|PF1|PF2|32，,求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一： 根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a； 利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式
7、； 通过配方，利用整体思想求出|PF1|PF2|的值；,(2)方法二：,特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系.,反思与感悟,跟踪训练1 如图所示，已知F1，F2分别为双曲线 的左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且F1MF2，求MF1F2的面积.,解答,在MF1F2中，由余弦定理， 得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos . |F1F2|24c2，|MF1|2|MF2|2(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|4a22|MF1|MF2|， 式
8、化为4c24a22|MF1|MF2|(1cos )，,命题角度2 利用双曲线定义求其标准方程 例2 (1)已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是 A.|PF1|PF2|3 B.|PF1|PF2|4 C.|PF1|PF2|5 D.|PF1|2|PF2|24,当|PF1|PF2|3时，|PF1|PF2|3|F1F2|4，满足双曲线定义， P点的轨迹是双曲线.,答案,解析,(2)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(5,0)，(5,0)，直线AM、BM 相交于点M，且它们的斜率之积是 ，则点M的轨迹方程为_.,设M(x，y)，,答案,解析,双曲线
9、定义的两种应用 (1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线. (2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为 寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系； 根据题目的条件计算是否满足|MF1|MF2|2a(常数，a0). 判断：若2a2c|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c|F1F2|，b2c2a2，进而求出相应a，b，c. 根据F1，F2所在的坐标
10、轴写出双曲线的标准方程.,反思与感悟,跟踪训练2 下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上) 已知定点F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2| 的点P的轨迹为双曲线； 已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为两条射线； 到定点F1(3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线； 若点P到定点F1(4,0)，F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(3，1)的距离，则点P的轨迹为双曲线.,答案,解析, 6，故点P的轨迹不存在；点M(1，2)到点N(3，1)的距离为 58，故点P的轨迹是以F1(
11、4,0)，F2(4,0)为焦点的双曲线.,类型二 待定系数法求双曲线的标准方程,例3 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4 )和 ，求双曲线的标准方程；,解答,解答,待定系数法求方程的步骤 (1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴. (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式， 若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0).,(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值. (4)结论：写出双曲线的标准方程.,反思与感悟,跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程. (1)c ，经过点A(5,2)，焦点在x轴上；,解答,设双曲
12、线方程为mx2ny21(mn0)，,解答,解答,依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为,类型三 双曲线定义的综合运用,证明,如图所示，设|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，则在PF1F2中，对于双曲线有|r2r1|2m，,则在PF1F2中，对于椭圆有r1r22a，,反思与感悟,(1)结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力.,(2)双曲线与椭圆的比较如下表：,利用双曲线与椭圆的关系，可类比椭圆得到双曲线的有关结论，或用类似方法解决双曲线的有关问
13、题，以及双曲线与椭圆的综合问题.,跟踪训练4 (1)已知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且过点 ( ，4)，求双曲线的方程.,证明,(2)已知椭圆C： (ab0)具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对 双曲线C： 写出具有类似特殊的性质，并加以证明.,解答,类似的性质如下： 若M，N为双曲线 上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值. 其证明过程如下： 设P(x，
14、y)，M(m，n)，则N(m，n)，,故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.,当堂训练,由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6， 即|3|PF2|6，解得|PF2|9(负值舍去)，故选B.,1.若双曲线E： 的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于 A.11 B.9 C.5 D.3,答案,解析,1,2,3,4,5,2.设F1，F2分别是双曲线x2 1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于,答案,解析,1,2,3,4,5,又由|F1F2|10可得PF1F2是直角三角形，,1,2,3,4,5,3.已知圆C：x2y26x4y80，以圆C与坐标轴的交点分别作为双 曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,令x0，得y24y80，方程无解，即该圆与y轴无交点. 令y0，得x26x80，解得x2或x4， 则符合条件的双曲线中a2，c4， b2c2a216412，且焦点在x轴上，,1,2,3,4,5,4.已知双曲线2x2y2k(k0)的焦距为6，则k的值为_.,答案,解析,6或6,由题意知，k0.,解得k6. 综上，k6或k6.,1,2,3,4,5,1,2,3,
