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1、第二章 2.2 椭圆,2.2.1 椭圆的标准方程(二),1.加深理解椭圆定义及标准方程. 2.能灵活运用条件求椭圆的标准方程. 3.能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点 椭圆标准方程的认识与推导,椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？,答案,标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上. 标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于 与 的平方和，并且分母为不相等的正值.,思考2,依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？,答案,把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上.,思考
2、3,观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.,答案,(1) 如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.,(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0).,(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|MF2|2a列方程，并将其坐标化为 ,(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b， 令b2a2c2，可得椭圆标准方程为 ,(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程，以方
3、程的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点 F1(c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程的解为坐标的点都在椭圆上.由曲线与方程的关系可知，方程是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.,梳理,(1)椭圆的标准方程的形式,(2)方程Ax2By21表示椭圆的充要条件是 . (3)椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为 .,A0，B0且AB,a2b2c2,题型探究,类型一 椭圆标准方程的确定,解答,方法一 (1)当焦点在x轴上时，,此时不符合ab0，所以方程组无解.,方法二 设所求椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0且AB)，,求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择
4、求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置.,反思与感悟,跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点( ， )；,解答,椭圆的焦点在y轴上，,由椭圆的定义知：,又c2，b2a2c26.,(2)焦点在 y 轴上，且经过两点(0,2)和(1,0).,解答,椭圆的焦点在 y 轴上，,又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，,类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用,例2 如图，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹.,解答,设点M的坐标为(x，y)，点P的
5、坐标为(x0，y0)，,把x0x，y02y代入方程，,所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆.,引申探究 若本例中“过点P作x轴的垂线段PD”，改为“过点P作y轴的垂线段PD”.那么线段PD的中点M的轨迹又是什么？,解答,设M(x，y)，P(x0，y0)，,(*),故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆.,反思与感悟,如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动，则求P点的轨迹方程时一般用转代法来求解.基本步骤为： (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1). (2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式 (3)代换：将上述关系式代
6、入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.,跟踪训练2 如图所示，B点坐标为(2,0)，P是以O为圆心的单位圆上的动点，POB的平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程.,解答,设Q(x，y)，P(x0，y0)，则(x2，y)2(x0x，y0y)，,又点P在单位圆x2y21上，,当堂训练,因为焦点在x轴上，故m1，故选A.,1.若方程 y21表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为 A.(1，) B.( ，) C.1，) D.(，1),答案,解析,1,2,3,4,5,2.设B(4,0)，C(4,0)，且ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为,答案,解析,1,2,3,4,5
7、,由已知|AB|AC|BC|18，|BC|8，得|AB|AC|10.由椭圆的定义可知，点A的轨迹是椭圆的一部分，且2a10 ， 2c8，即a5，c4，所以b2a2c225169，则椭圆方程为 .当点A在直线BC上，即y0时，A，B，C三点不能构成三角形.所以顶点A的轨迹方程是 (y0).,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.已知椭圆E： (ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A， B两点.若AB的中点坐标为(1，1)，则椭圆E的方程为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则,由题意，得x1x22，y1y22，,又c2a2b29，b29
8、，a218，椭圆E的方程为 .,1,2,3,4,5,4.在椭圆 y21中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为_.,把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a， 即4 .,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,5.ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b6，求顶点B的轨迹方程.,以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设A(3,0)，C(3,0)，B(x，y)， 则|BC|AB|ac2b2|AC|12， B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆， 且a6，c3，b227.,规律与方法,1.两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：,2.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点.在 与 这两个标准方程中，都有ab0的要求， 如方程 (m0，n0，mn)就不能肯定焦点在哪个轴上.分清两种形式的标准方程，可与直线截距式 类比，如 中，由于ab，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小). 要区别a2b2c2与习惯思维下的勾股定理c2a2b2.,本课结束,
