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1、第二章 2.1 曲线与方程,2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质,1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实 际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用. 2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题. 3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理 解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 坐标法的思想,怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？,答案,只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.,思考2,依据一个给定的平面
2、图形，选取的坐标系唯一吗？,答案,不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准.,梳理,(1)坐标法：借助于 ，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法. (2)解析几何研究的主要问题： 通过曲线研究方程：根据已知条件，求出 . 通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究 .,坐标系,表示曲线的方程,曲线的性质,知识点二 求曲线的方程的步骤,有序实数对(x,y ),P=M|p(M),p=(M),f(x,y) =0,方程的解,f(x,y)=0,题型探究,例1 一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.,类型一 直接法求曲线的方程,解答,设P(x，y)，则|8x|2
3、|PA|. 则|8x|2 ， 化简，得3x24y248， 故动点P的轨迹方程为3x24y248.,引申探究 若将本例中的直线改为“y8”，求动点P的轨迹方程.,解答,设P(x，y)， 则P到直线y8的距离d|y8|， 又|PA| ， 故|y8|2 ， 化简，得4x23y216x16y480. 故动点P的轨迹方程为4x23y216x16y480.,直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件. (2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提
4、醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.,反思与感悟,解答,设点P(x，y)，由M(1,0)，N(1,0)，,点P的轨迹方程为x2y23(x0).,类型二 代入法求解曲线的方程,例2 动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.,解答,设P(x，y)，M(x0，y0)， 因为P为MB的中点，,又因为M在曲线x2y21上，所以(2x3)24y21. 所以P点的轨迹方程为(2x3)24y21.,反思与感悟,代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0). (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨
5、迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程.,跟踪训练2 ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求ABC外心的轨迹方程.,解答,如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b).设ABC的外心为M(x，y)，,作MNBC于N，则MN是BC的垂直平分线. |BC|2a，|BN|a，|MN|y|. 又M是ABC的外心，MM|MA|MB|.,化简，得所求轨迹方程为x22byb2a20.,类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点,例3 过点M(1,2)的直线与曲线y (a0)有两个不同的交点，
6、且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.,解答,当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点. 设直线方程为y2k(x1)(k0)，,消去x，得y2(2k)yka0. 当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点. (2k)24ka0. 设方程的两根分别为y1，y2， 由根与系数的关系，得y1y22k.,又y1y2a，k2a， 代入0中，得a24a(2a)0， 解得0a . 又k0， 2a0，即a2. a的取值范围是(0,2)(2， ).,反思与感悟,结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两
7、曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.若两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)0和G(x，y)0，则它们的交点 坐标由方程组 的解来确定.,跟踪训练3 直线l：yk(x5)(k0)与圆O：x2y216相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.,解答,设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)， 再由OMMP， 得|OP|2|OM|2|MP|2， x2y2(x5)2y225，,点M应在圆内， 所求的轨迹为圆内的部分.,当堂训练,联立方程组无解.,1.曲线y 与xy2的交点是 A.(1,1) B.(2,2) C.直角坐
8、标系内的任意一点 D.不存在,答案,解析,1,2,3,4,5,2.方程x2y21(xy0)表示的曲线是,答案,解析,xy0时，y0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.直线 与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_.,答案,解析,设直线 与x，y轴交点为A(a,0)，B(0，2a)，A，B中点为M(x，y)，则x ，y1 ，消去a，得xy1.a0，a2，x0，x1.,xy10(x0，x1),1,2,3,4,5,4.已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_.,答案,解析,5.M为直
9、线l：2xy30上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且APPM3，求动点P的轨迹方程.,设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，,解答,因为点M(x0，y0)在直线2xy30上，,即8x4y30， 从而点P的轨迹方程为8x4y30.,1,2,3,4,5,规律与方法,求解轨迹方程常用方法 (1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程. (2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程. (3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.,(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法. (5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.,本课结束,
