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1、我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散第三讲 柯西不等式与排序不等式 对应学生用书P37考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题真题体验1(陕西高考)设a，b，m，nR ，且 a2b25，manb5，则 的最小值为_解析：由柯西不等式得(a2b2)(m2n2)(manb)2，将已知代入得m2n25 ，当且仅当“”时等号成立答案：2(福建高考)
2、已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23. 对应学生用书P37利用柯西不等式证明有关不等式问题柯西不等式的一般形式为(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，biR，i1,2，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以
3、使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解例1已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：.证明由柯西不等式()()()2，于是等号成立abcd.又已知a，b，c，d不全相等，则中等号不成立即.利用排序不等式证明有关的不等式问题排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷例2设a，b，c为实数，求证：a10b10c10.证明由对称性，不妨设abc，于是a12b12c12，.由排序不等式：顺序和乱序和得.又因为a11b11c11，再次由排序不等式：反序和乱序和得.由得a10b10c10.利用柯西不等式或排序不等式
4、求最值问题有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易例3已知5a23b2，求a22abb2的最大值解(a)2(b)22(ab)2a22abb2，当且仅当5a3b即a，b时取等号(5a23b2)a22abb2.a22abb2(5a23b2)1.a22abb2的最大值为1.例4 已知正实数x1，x2，xn满足x1x2xnP，P为定值，求F的最小值解不妨设00且00，f(x) .当且仅当3，即2(2x)3(x)即x时等号成立答案：C7设a，b，c为正数，ab4c1，则2的最大值是()A. B.C
5、2 D.解析：1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2(121212)(2)2，(2)23.即当且仅当ab4c时等式成立，所求为.答案：B8函数f(x)cos x，则f(x)的最大值是()A. B.C1 D2解析：由f(x)cos x，所以f(x) cos x .当且仅当cos x时取等号答案：A9已知abc1，且a，b，cR，则的最小值为()A1 B3C6 D9解析：abc1，2(abc)(ab)(bc)(ca)(111)29.答案：D10设c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均为正数)，则的最小值是()A. BnC1 D不能确定解析：不妨设0a1a2an
6、，则，是，的一个排列，又反序和乱序和，所以n.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案填写在题中横线上)11x，yR，若xy1，则x2y2的最小值为_解析：令a(1,1)，b(x，y)，则abxy1，又|ab|a|b|，1()2()22(x2y2)当且仅当xy时取等号x2y2.答案：12已知A，B，C是三角形三个内角的弧度数，则的最小值是_解析：(ABC)(111)29，而ABC，故，当且仅当ABC时，等号成立答案：13函数y2的最大值是_解析：y .当且仅当x时取等号答案：14已知a，b，x，y均为正数，且，xy，则与的大小关系是_解析：，ba0.又xy0，由排序不
7、等式知，bxay.又0，.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知实数a，b，c满足a2bc1，a2b2c21，求证：c1.证明：因为a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式：(1222)(a2b2)(a2b)2，5(1c2)(1c)2，整理得，3c2c20，解得c1.c1.16(本小题满分12分)求函数y的最大值解：由1sin x0,4sin x10，得sin x1，则y22(14)，即y，当且仅当4(1sin x)sin x即sin x时等号成立，所以函数y的最大值为.17(本小题满分12分)设a，b，cR，求证：.证明：(bc)(ca)(ab)2(abc)2，即2(abc)(abc)2.又a，b，cR，.18(本小题满分12分)(1)已知：a，bR，ab4，证明：1；(2)已知： a，b，cR，abc9，证明：1；并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明)证明：(1)根据柯西不等式：(ab)24，ab4，1.(2)根据柯西不等式：(abc)29，abc9，1.可以推广：若a1a2ann2，则1.经过专家组及技术指导员的共同努力，科技入户工作取得了很大的成绩，促进了小麦 产量的大幅提升，农民种粮收益明显提高，得到了广大群众的一致赞许和社会各界的广泛好评。
