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1、第三章 3.2 空间向量在立体几何中的应用,3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程,学习目标 1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程. 2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行. 3.会用向量证明两条直线垂直. 4.会利用向量求两条直线所成的角.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置,在平面中，可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合.空间中一点的位置或点的集合怎样确定？,已知向量a，在空间中固定一个基点O，再作向量 a，则点A在空间中的位置就被向量a唯一确定了，称向量a为位置向量.,答案,梳理 用向量表示直线或点在直线上
2、的位置 上面三个向量等式都叫做空间直线的 .向量a称为该直线的方向向量. (2)线段AB的中点M的向量表达式 .,向量参数方程,ta,知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行,1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1l2或l1与l2重合 . 2.已知两个不共线向量v1，v2与平面共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得 l或l在内 . 3.已知两个不共线向量v1，v2与平面共面，则由两平面平行的判定与性质，得 或与重合 .,v1v2,存在两个实数x，y，使vxv1yv2,v1且v2,知识点三 用向量运算证明两条直
3、线垂直或求两条直线所成的角,1.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 设两条直线所成的角为，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1l2 ，cos . 2.求两直线所成的角应注意的问题 在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以 cosv1，v2 .但要注意，两直线的夹角与v1，v2并不完全相同，当v1，v2为钝角时，应取其 作为两直线的夹角.,v1v2,|cosv1，v2|,补角,题型探究,类型一 空间中点的位置确定,例1 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以 的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
4、(1)APPB12；,解答,设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得,(2)AQQB2. 求点P和点Q的坐标.,解答,因为AQQB2，,设点Q的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示， 得(x，y，z)(2,4,0)2(1,3,3)(0,2,6)， 即x0，y2，z6. 因此，Q点的坐标是(0,2,6).,确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得.,反思与感悟,答案,解析,设C(x，y，z)，,类型二 向量方法处理平行问题,证明,(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理. (2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要
5、注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.,反思与感悟,跟踪训练2 (1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12.点M在棱BB1上，且BM2MB1，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MNRS.,证明,方法二 如图所示，建立空间直角坐标系，,证明,建立如图所示的空间直角坐标系. 设ACBDN，连接NE， 则点N、E的坐标分别是,又NE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.,例3 已知三棱锥OABC(如图)，OA4，OB5，OC3，AOBBOC60，COA90，M，N分别是棱OA，BC的中点.求直线MN与AC所成角的余弦值.,
6、类型三 两直线所成的角的求解,解答,向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是0，而异面直线所成角的范围是 ，故异面直线所成角的余弦值一定大于等于0.,反思与感悟,跟踪训练3 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值.,解答,如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C1(0,4,2)，A1(2,0,2)， E(1,2,2)，F(1,4,1)，,当堂训练,1.若直线l1、l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2,3,2)，则 A.l1l2 B.
7、l1l2 C.l1、l2相交但不垂直 D.不能确定,答案,解析,ab1(2)23(2)20， ab，l1l2.,2,3,4,5,1,2.设l1的方向向量a(1,3，2)，l2的方向向量b(4,3，m)，若l1l2，则m等于,答案,解析,2,3,4,5,1,3.若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1),2,3,4,5,1,答案,解析,4.已知向量a(42m，m1，m1)，b(4,22m,22m)，若ab，则实数m的值为 A.1 B.3 C.1或3 D.以上答案都不正确,2,3,4,5,
8、1,答案,解析,2,3,4,5,1,因为b(4,22m,22m)0， 所以“ab的充要条件是ab”，,代入42m4，得m3.,2,3,4,5,1,5.已知直线l1的一个方向向量为(7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1l2，则x_，y_.,答案,解析,14,6,1.利用向量可以表示直线或点在直线上的位置. 2.线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空间向量共线、共面定理. 3.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量.共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.,规律与方法,本课结束,
