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1、第三章 3.1 空间向量及其运算,3.1.1 空间向量的线性运算,1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共 线向量等的概念. 2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向 量加法的交换律和结合律. 3.掌握数乘向量运算的意义及运算律.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 空间向量的概念,类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.,答案,在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.,梳理,(1)在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 . 空间向量也用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模，向量a的起点是A
2、，终点是B，则向量a也可记作 ，其模记为 .,大小,方向,长度,模,长度,(2)几类特殊的空间向量,零向量,模为1,相反,相等,相同,相等,同向,等长,互相平行或重合,共线向量,平行向量,知识点二 空间向量的加减运算及运算律,思考1,答案,下面给出了两个空间向量a、b，作出ba，ba.,如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面内，,思考2,由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量 的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？,答案,先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图
3、2是平行四边形法则.,梳理,(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.,(2)空间向量加法交换律 ab ， 空间向量加法结合律 (ab)ca(bc).,ba,知识点三 数乘向量运算,0时，a和a方向相同；0时，a和a方向相反；a的长度是a的长度的|倍. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 分配律：(ab)ab， 结合律：(a)()a.,思考,答案,实数和空间向量a的乘积a的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？,梳理,(1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量， 称为向量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下： |a| . 当0时，a与
4、向量a方向相同；当0时，a与向量a方向 ； 当0时，a0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 (a) ； (ab) .,|a|,相反,()a,ab,题型探究,例1 给出以下结论： 两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有 ；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,类型一 有关空间向量的概念的理解,解析,两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确； 若空间向量a，b满足|a|b|，则不一定能判断出ab，故不正确；在正方体ABCDA1B
5、1C1D1中，必有 成立，故正确； 显然正确.故选B.,在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.,反思与感悟,跟踪训练1 (1) 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列四对向量：,其中互为相反向量的有n对，则n等于,A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,(2)如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： 单位向量共有多少个？,解答,试写出模为 的所有向量.,解答,试写出与向量 相等的所有向量.,
6、解答,试写出向量 的所有相反向量.,解答,类型二 空间向量的加减运算,例2 如图，已知长方体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.,解答,解答,引申探究 利用例2题图，化简,解答,反思与感悟,(2) 首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0. 如图，,(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即aba(b). (4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律. (5) 空间向量加法结合律的证明：如图，,跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中， 求证：,证明,
7、平行六面体的六个面均为平行四边形，,类型三 数乘向量运算,例3 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， 设 a， b， c，M，N，P分别是AA1，BC， C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,解答,解答,解答,引申探究 若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且 ”，其他条件不变，如何表示 ？,解答,反思与感悟,利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.,跟踪训练3 如图，在空间四边形OABC
8、中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG2GN，如图所示，记 a， b， c，试用向量a，b，c表示向量 .,解答,当堂训练,1.下列命题中，假命题是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.空间中任意两个单位向量必相等,答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,2.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量 相等的向量共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案,解析,5,1,2,3,4,5,3.向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是 A.ab B.ab为实数
9、0 C.a与b方向相同 D.|a|3,答案,解析,向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.,4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：,答案,解析,其中运算的结果为 的有_个.,4,根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,0,解析,规律与方法,1.一些特殊向量的特性 (1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的. (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.,2.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.,本课结束,
