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1、第三章,导数及其应用,3.1.2 瞬时速度与导数,学习目标 1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景. 2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数. 3.掌握函数在一点处导数的定义.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 函数f(x)在xx0处的导数与x趋近于0的方式有关吗？ 答案 没有关系.无论x从一侧趋近于0还是从两侧趋近于0，其导数值应相同.否则f(x)在该点处导数不存在，如函数f(x)|x|在x0处导数不存在.,预习导引 1.瞬时变化率 设函数yf(x)在x0附近有
2、定义，当自变量在xx0附近改变x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变化率 趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率.,f(x0)或y|xx0,3.函数的导数 如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点x处的导数都存在，则称 f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数 f(x)，于是在区间(a，b)内 f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为 .导函数通常简称为导数.,f(x)或(yx、y),要点一 物体运动的瞬时速度,例1 一质点按规律s(t)at21作直线运动(位
3、移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解 ss(2t)s(2)a(2t)21a221,规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量ss(t0t)s(t0)；,跟踪演练1 如果质点A按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为( ) A.6 B.18 C.54 D.81,B,要点二 函数在某点处的导数 例2 求yx2在点x1处的导数. 解 y(1x)2122x(x)2，,规律方法 求函数yf(x)在点x0处的导数的步骤是： (1)求函数的增量yf(x0x)f
4、(x0)；,跟踪演练2 求y2x24x在点x3处的导数. 解 y2(3x)24(3x)(23243),要点三 导数的实际意义 例3 一条水管中流出的水量y(单位：m3) 是时间x(单位：s)的函数yf(x)x27x15(0x8).计算2 s和6 s时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义. 解 在2 s和6 s时，水管流量函数的导数为f(2)和f(6),即在2 s时的水流速度为11 m3/s. 同理可得在6 s时的水流速度为19 m3/s.,在2 s与6 s时，水管流量函数的导数分别为11与19.它说明在2 s时附近，水流大约以11 m3/s的速度流出， 在6 s时附近，水流大约以19 m
5、3/s的速度流出. 规律方法 导数实质上就是瞬时变化率，它描述物体的瞬时变化，例如位移s关于时间t的导数就是运动物体的瞬时速度，气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.,跟踪演练3 服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：g/mL)是时间t(单位：min)的函数yf(t)，假设函数yf(t)在t10和t100处的导数分别为f(10)1.5和f(100)0.60，试解释它们的实际意义. 解 f(10)1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 g/(mLmin). f(100)0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 g/(mLmin).,1,2,3,4,1.如果某物体的运动方程为s2(1t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( ) A.4.8 m/s B.0.88 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s 解析 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得.,A,1,2,3,4,A,1,2,3,4,3.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则物体的初速度是_.,3,1,2,3,4,课堂小结,
